Теорія:

Функцію \(y=f(x),\) xX називають оберненою, якщо вона набуває будь-якого свого значення тільки в одній точці множини \(X\) (інакше кажучи, якщо різним значенням аргументу відповідають різні значення функції).
Теорема \(1\)
 
Якщо функція \(y=f(x),\) xX монотонна на множині \(X,\) то вона обернена. 
 
Нехай \(y=f(x),\) xX — обернена функція та E(f)=Y\(.\) Поставимо у відповідність кожному \(y\) з \(Y\) єдине значення \(x,\) за якого f(x)=y (тобто єдиний корінь рівняння f(x)=y відносно змінної \(x\)). Тоді отримаємо функцію, яка визначена на \(Y,\) а \(X\) — область її значень. Цю функцію позначають x=f1(y),yY і називають оберненою по відношенню до функції \(y=f(x),\) xX\(.\)
Теорема \(2\)
 
Якщо функція \(y=f(x)\) зростає (спадає) на множині \(X,\) а \(Y\) — область значень функції, то обернена функція x=f1(y),yY зростає (спадає) на множині \(Y.\)
Теорема \(3\)
 
Точки \(M\) \((a; b)\) і \(P\) \((b; a)\) симетричні відносно прямої \(y=x.\)
Знаходження формули для функції, що обернена даній
Користуючись формулою \(y = f(x),\) слід виразити \(x\) через \(y,\) а в отриманій формулі \(x = g(y)\) замінити \(x\) на \(y,\) а \(y\) — на \(x.\)
Приклад:
Дано функцію y=x2,x0;+)\(.\) Знайди обернену функцію.

Розв'язання
 
Задана функція зростає на проміжку 0;+)\(,\) отже, вона має обернену функцію. Із рівняння y=x2 знаходимо: x=y або x=y\(.\)

Проміжку 0;+) належать лише значення функції x=y\(.\) Це і є обернена функція, яка визначена на проміжку 0;+)\(.\)
 
Помінявши місцями \(x\) і \(y,\) отримаємо: y=x,x0;+)\(.\) Графік цієї функції виходить із графіка функції y=x2,x0;+) за допомогою симетрії відносно прямої \(y=x.\)
obratnaja.png