Поняття степеня з раціональним показником

Вираз

a^{\frac{m}{n}}

означає корінь, показник якого дорівнює знаменнику \(n\) дробу

\frac{m}{n}

\(,\) а

показник степеня підкореневого виразу дорівнює чисельнику \(m\) дробу

\frac{m}{n}

\(,\) тобто

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

\(.\)

Наприклад:

11^{\frac{1}{2}} = \sqrt{11}, 2^{\frac{8}{9}} = \sqrt[9]{2^{8}}, \sqrt{t^{5}} = t^{\frac{5}{2}}

Приклад:

\(1.\) Обчисли:

32^{\frac{1}{5}}

Розв'язання

32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2

\(2.\) Обчисли:

{(- 27)}^{\frac{1}{3}}

Розв'язання

Степінь із дробовим показником для випадку від'ємної основи не має змісту.

Зверни увагу!

Слід звернути увагу на те, що основа не може бути від'ємним числом, а показник степеня може бути як додатним, так і від'ємним.

Приклад:

Порівняємо два рівняння.

\(1.\) Розв'яжи рівняння:

\sqrt[3]{y^{2}} = 1

Розв'язання

Піднесемо обидві частини рівняння до куба:

\begin{array}{l} y^{2} = 1 \\ y_{1,2} = \pm 1 \end{array}

Відповідь: \(-1;1\)

\(2.\) Розв'яжи рівняння:

y^{\frac{2}{3}} = 1

Розв'язання

Основа \(y\) повинна бути невід'ємною, тому вона підноситься до дробового степеня.

Отже, зі знайдених вище двох значень \(y\) коренем рівняння є лише значення \(y=1.\)

Відповідь: \(1\)

Якщо

\frac{p}{q}

— звичайний дріб, де

q \neq 1

і \(a>0,\) то під

a^{- \frac{p}{q}}

розуміють

\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}

\(.\)

a^{- \frac{p}{q}} = \frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}

7^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{7^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{7}}

Знайшли помилку?

1. Поняття степеня з раціональним показником