Властивості степеня з раціональним показником

Якщо \(a>0, b>0,\) \(s\) і \(t\) — довільні раціональні числа, то правильні такі властивості:

\begin{array}{l} a^{s} \cdot a^{r} = a^{s + r} \\ a^{s} : a^{r} = a^{s - r} \\ {(a^{s})}^{r} = a^{s \cdot r} \\ {(a \cdot b)}^{s} = a^{s} \cdot b^{s} \\ {(\frac{a}{b})}^{s} = \frac{a^{s}}{b^{s}} \end{array}

Приклад:

\(1.\) Спрости:

x^{\frac{2}{7}} \cdot x^{\frac{3}{5}}

Розв'язання

x^{\frac{2}{7}} \cdot x^{\frac{3}{5}} = x^{\frac{2}{7} + \frac{3}{5}} = x^{\frac{10}{35} + \frac{21}{35}} = x^{\frac{10 + 21}{35}} = x^{\frac{31}{35}}

\(2.\) Спрости:

{(z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{3}{5}}

Розв'язання

{(z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{3}{5}} = z^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}} = z^{\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5}} = z^{\frac{3}{10}}

\(3.\) Спрости:

{(u^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2 \sqrt[5]{uv} - \frac{1}{{(\sqrt[5]{v})}^{- 2}}

Розв'язання

Розкриємо дужки за формулою скороченого множення:

\begin{array}{l} {(u^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + 2 \cdot u^{\frac{1}{5}} \cdot v^{\frac{1}{5}} + {(v^{\frac{1}{5}})}^{2} = u^{\frac{1}{5} \cdot 2} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5} \cdot 2} = \\ = u^{\frac{2}{5}} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{2}{5}} \end{array}

Запишемо корінь \(5\) степеня у вигляді степеня і застосуємо властивість степеня добутку:

2 \sqrt[5]{uv} = 2 \cdot {(uv)}^{\frac{1}{5}} = 2 \cdot u^{\frac{1}{5}} \cdot v^{\frac{1}{5}} = 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}}

Перетворимо вираз:

\frac{1}{{(\sqrt[5]{v})}^{- 2}} = {(\sqrt[5]{v})}^{2} = {(v^{\frac{1}{5}})}^{2} = v^{\frac{1}{5} \cdot 2} = v^{\frac{2}{5}}

Підставимо знайдені значення в початковий вираз і зведемо подібні доданки:

\begin{array}{l} {(u^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2 \sqrt[5]{uv} - \frac{1}{{(\sqrt[5]{v})}^{- 2}} = (u^{\frac{2}{5}} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{2}{5}}) - 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} - v^{\frac{2}{5}} = \\ = u^{\frac{2}{5}} + 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} + v^{\frac{2}{5}} - 2 u^{\frac{1}{5}} v^{\frac{1}{5}} - v^{\frac{2}{5}} = u^{\frac{2}{5}} \end{array}

Знайшли помилку?

2. Властивості степеня з раціональним показником