Теорія:

Формули подвійного аргументу дозволяють представити тригонометричну функцію подвоєного аргументу у вигляді виразу тригонометричних функцій простого (одинарного) аргументу.
Ці формули встановлюють співвідношення між \(sin2x,  cos2x,  tg2x\) і \(sin x,  cos x,  tg x\).
 
Послідовно приведемо і доведемо формули подвійного аргументу для функцій синуса, косинуса і тангенса.
 
1. Розглянемо вираз \(sin  2 x\) - представимо його аргумент у вигляді \(2 x=x+x\) і скористаємося відомою формулою синуса суми аргументів:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
Тоді  отримаємо:
sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx
Отже, 
формула синуса  подвійного  аргументу:  sin2x=2sinxcosx
 
2. Розглянемо вираз \(cos  2 x\) і аналогічно представимо його аргумент у вигляді \(2 x=x+x\), а також скористаємося відомою формулою косинуса суми аргументів:
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ.
Тоді отримаємо:
cos2x=cos(x+x)=cosxcosxsinxsinx=cos2xsin2x
Отже, 
формула косинуса подвійного аргументу: cos2x=cos2xsin2x
 
3. Тепер розглянемо вираз \( tg 2 x\) і знову представимо його аргумент у вигляді \(2 x=x+x\), що дасть можливість скористатися відомою формулою тангенса суми аргументів:
 tg(α+β)=tgα+tgβ1tgαtgβ.
Тоді отримаємо:
tg2x=tg(x+x)=tgx+tgx1tgxtgx=2tgx1tg2x
 
формула тангенса подвійного  аргументу: tg2x=2tgx1tg2x
 
Зверни увагу!
Формули синуса подвійного аргументу і косинуса подвійного аргументу справедливі для будь-яких значень аргументу (ніяких обмежень немає), тоді, як формула тангенса подвійного  аргументу справедлива лише для тих значень аргументу \( x \), для яких визначені функції \( tg x\) і \( tg 2 x\), а також відмінний від нуля знаменник дробу, тобто 1tg2x0.
Це рівнозначно одночасному виконанню умов:      
xπ2+πk,kxπ4+πn,n.
 
Зрозуміло, всі отримані формули можна застосувати й у тих випадках, коли місце аргументу \(x\) займає більш складний вираз, наприклад, справедливі наступні співвідношення:  
sin4x=2sin2xcos2x
 
sinx=2sinx2cosx2  - до речі, цю формулу іноді називають формулою \(половинного\) \(аргументу\)
 
cos48°=cos224°sin224°
 
cos(2x+6y)=cos2(x+3y)=cos2(x+3y)sin2(x+3y)
 
tg(2π32t)=tg(2(π3t))=2tg(π3t)1tg2(π3t)  і т.п.
 
Будь-яку з отриманих формул подвійного аргументу можна використовувати, як зліва направо, так і справа наліво (згортати) для розв'язання \(тригонометричних\) \(виразів\).