Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток

Мова піде про формули, які дозволяють суму або різницю синусів або косинусів розкласти на множники.

Розглянемо вираз

\sin (s + t) + \sin (s - t)

. Застосувавши формули синуса суми і синуса різниці, отримаємо:

(\sin s \cdot \cos t + \cos s \cdot \sin t) + (\sin s \cdot \cos t - \cos s \cdot \sin t) = 2 \sin s \cdot \cos t

Отже,

\sin (s + t) + \sin (s - t) = 2 \sin s \cdot \cos t

Введемо позначення:

x = s + t, y = s - t

Якщо цю рівність додати, отримаємо:

x + y = 2 s

, тобто

s = \frac{x + y}{2}

Якщо з рівності

x = s + t

відняти рівність

y = s - t

, отримаємо

x - y = 2 t

тобто

t = \frac{x - y}{2}

А тепер замінимо у формулі

\sin (s + t) + \sin (s - t) = 2 \sin s \cdot \cos t

\(x+t\) на \(x\), \(s-t\) на \(y\), \(s\) на

\frac{x + y}{2}

, \(t\) на

\frac{x - y}{2}

Тоді формула

\sin (s + t) + \sin (s - t) = 2 \sin s \cdot \cos t

набуде вигляд

\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}

Приклад:

Розглянемо приклад:

\sin 6 x + \sin 4 x = 2 \sin \frac{6 x + 4 x}{2} \cos \frac{6 x - 4 x}{2} = 2 \sin 5 x \cdot \cos x

Отже,

\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2}

Розглянемо вираз \(cos (s+t)+cos (s-t)\). Застосувавши формули синуса суми і синуса різниці, отримаємо:

(\cos s \cdot \cos t - \sin s \cdot \sin t) + (\cos s \cdot \cos t + \sin s \cdot \sin t) = 2 \cos s \cdot \cos t

Отже,

\cos (s + t) + \cos (s - t) = 2 \cos s \cdot \cos t

Введемо позначення:

x = s + t, y = s - t

отримаємо:

\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}

Отже,

\cos x - \cos y = - 2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}

Знайшли помилку?

1. Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток