Теорія:

Одними з основних і найбільш часто використовуваних формул перетворення тригонометричних виразів є формули  тангенса  суми  і  різниці  аргументів.
Вони встановлюють співвідношення між тангенсом загальної суми або різниці аргументів і тангенсами окремих аргументів - доданків.
 
При всіх допустимих значеннях аргументів справедливі формули:
   тангенса суми аргументів:          tg(α+β)=tgα+tgβ1tgαtgβ  (1)
 
   тангенса різниці аргументів:      tg(αβ)=tgαtgβ1+tgαtgβ  (2)
Обмовка про допустимі значеннях аргументів означає, що всі тангенси мають зміст, тобто виконуються умови:
 
απ2+πk,βπ2+πnk,n
α+βπ2+πm,m  для формули (1), αβπ2+πm,m  для формули (2),
 
Ці формули дуже важливі і широко застосовуються не лише в математиці, але і у фізиці - особливо, в радіотехніці.
 
Виведення формул природним чином виходить з визначення функції тангенс і використання вже відомих формул синуса і косинуса суми і різниці аргументів.
 
Доведемо формулу тангенса суми аргументів. Маємо:
 
 tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ
 
Поділимо кожний з доданків чисельника і знаменника на cosαcosβ,
враховуючи, що значення дробу від цього не зміниться і, що cosαcosβ0 з прийнятих вище умов для допустимих значень аргументів, тобто απ2+πk,βπ2+πnk,n. Тоді:
 
tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβsinαsinβcosαcosβ=tgα+tgβ1tgαtgβ,
що і треба було довести.
 
Аналогічно доводиться формула тангенса різниці аргументів:
 
tg(αβ)=sin(αβ)cos(αβ)=sinαcosβcosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=sinαcosβcosαcosβcosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ=tgαtgβ1+tgαtgβ