Теорія:

Формули обчислення границь послідовностей:

1. limn1n=0

2. limnqn=0,q<1

3. limnC=C, тобто границя стаціонарної послідовності дорівнює значенню будь-якого члена послідовності.

4. Якщо limnxn=b, limnyn=c, тоді

          4.1. границя суми дорівнює сумі границь:

          limn(xn+yn)=b+c,

          4.2. границя добутку дорівнює добутку границь:

          limn(xnyn)=bc,

          4.3. границя частки дорівнює частці границь:

          limnxnyn=bc, якщо c0,

          4.4. постійний множник можна винести за знак границі:

          limnkxn=kb.

 

5. Для будь-якого натурального показника m і будь-якого коефіцієнта k справедливе співвідношення limnknm=0.

Приклад:

1. Знайти границю послідовності:

xn=2n5n2+3

Застосувавши правило «границя суми», отримаємо:

limn2n5n2+3=limn2nlimn5n2+limn3=00+3=3

2. Обчислити limn2n2+3n2+4

У подібних випадках застосовують штучний прийом: ділять чисельник і знаменник дробу почленно на найвищу з наявних степенів змінної n. У даному прикладі поділимо чисельник і знаменник дробу почленно на n2. Отримаємо:

limn2n2n2+3n2n2n2+4n2=limn2+3n21+4n2=

Далі скористаємося правилом «границя дробу (частки)»:

=2+01+0=21=2

Отже: limn2n2+3n2+4=2.