Теорія:

Число b називають границею послідовності (yn), якщо в будь-якому, заздалегідь обраному околі точки b, містяться всі члени послідовності, починаючи з деякого номера.
Пишуть:
ynb або limnyn=b.

Пояснення до даного визначення:

околом точки b радіуса r1 є інтервал  (br1;b+r1), (r1>0).

Візьмемо інтервал (br1;b+r1), тобто, окіл точки br1 — радіус цього околу (r1>0). Існує номер n1 починаючи з якого, вся послідовність міститься у зазначеному околі: yn1(br1;b+r1),yn1+1(br1;b+r1),yn1+2(br1;b+r1) і т.д.

Приклад:
Дана послідовність (yn):
1,12,13,14,...,1n,...
Довести, що limn1n=0
Розв'язок.
Візьмемо будь-який окіл точки 0, нехай її радіус дорівнює r.
lim.bmp
Завжди можна підібрати натуральне число n0, так щоб виконувалася нерівність 1n0<r.
Якщо, r=0,001, тоді в якості n0 можна взяти 1001, оскільки 11001<0,001, і т.д.
Це означає, що член послідовності (yn) з номером n0, тобто yn0, потрапляє в обраний окіл точки 0. Тим більше в цьому околі будуть знаходитися всі наступні члени заданої спадної послідовності yn=1n. Відповідно до визначення це і означає, що limn1n=0.
Для наочності побудуємо графік послідовності yn=1n, який утворений із точок з абсцисами 1,2,3,4,..., які лежать на гілці гіперболи y=1x.
graf.bmp
 
Оскільки limn1n=0, тоді пряма y=0 є горизонтальною асимптотой графіка функції y=1x,xN.