Арксинус і рівняння sin x = a — урок. Алгебра, 10 клас.

Рівняння

\sin x = a

Якщо

|a| > 1

, тоді рівняння

\sin x = a

не має коренів.

Наприклад, рівняння

\sin x = 2

не має коренів.

Якщо

|a| \leq 1

, тоді корені рівняння виражаються формулою

x = {(- 1)}^{k} \arcsin a + π k, k \in ℤ

Що ж таке

\arcsin a

? Арксинус в перекладі з латинської означає дуга і синус. Це обернена функція.

Якщо

|a| \leq 1

, тоді

\arcsin a

(арксинус

a

) - це таке число з відрізка

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

, синус якого дорівнює

a

Інакше кажучи:

\arcsin a = x \Rightarrow \sin x = a, |a| \leq 1, x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

Розглянемо цю теорію на прикладі.

Приклад:

Знайти

\arcsin \frac{1}{2}

Вираз

\arcsin \frac{1}{2}

показує, що синус кута

x

дорівнює

\frac{1}{2}

, тобто

\sin x = \frac{1}{2}

Далі просто знаходимо точку цього синуса на числовому колі, що і є відповіддю:

точка

\frac{1}{2}

, що знаходиться на осі

y

, відповідає точці

\frac{π}{6}

на числовому колі.
Отже,

\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}

Зверни увагу!

Якщо

\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

, тоді

\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}

У першому випадку по точці на числовому колі знаходимо значення синуса, а в другому - навпаки, за значенням синуса знаходимо точку на числовому колі. Рух у зворотний бік. Це і є арксинус.

Теорема. Для будь-якого