Для будь-яких значень \(n\) і \(m\) дійсна рівність \(.\)
Знаючи дану властивість, можна прискорити розв'язання завдань.
Приклад:
У магазині \(7\) різних майок. Галина хоче приміряти \(2\) майки, а Інна — \(5.\) Скільки існує можливостей у дівчаток кожен раз вибрати новий комплект для примірки?
У Галини можливостей вибрати майки, а в Інни — можливостей.
Оскільки \(,\) то без обчислень зрозуміло, що в обох дівчаток однакова кількість можливостей, тобто \(21.\)
Для кількості комбінацій діє властивість:
Наприклад, \(.\)
Для будь-якого допустимого значення \(n\) діє \(.\)
Використовуючи дві останні властивості, з комбінацій можна скласти трикутник Паскаля.
Трикутну таблицю прийнято називати трикутником Паскаля (на честь французького математика \(XVII\) \(ст.\)). Даний трикутник був відомий уже в \(II\) \(ст.\) \(до\) \(н. е.\) в стародавній Індії. У \(XII\) \(ст.\) він з'явився в роботах математиків Китаю. У Європі в \(XVI\) \(ст.\) його описав німецький математик М. Штіфель, а потім Паскаль у \(XVII\) \(ст.\)
Трикутник Паскаля складається з числових рядків (див. малюнок). На першій сходинці одне число, на другій — два, на третій — три, і т.д. Перше й останнє число кожного рядка дорівнює \(1.\) Кожне з інших чисел дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел попереднього рядка.
 |
Трикутник Паскаля з комбінаціями:
 |
Використовуючи трикутник Паскаля, можна зробити висновок, що додавши числа в будь-якому рядку трикутника Паскаля, можна отримати степінь числа \(2.\)