Перестановкою з n елементів називають будь-яку впорядковану множину з усіх цих елементів. Причому, дві такі множини називають різними, якщо вони відрізняються порядком елементів.
Обчислюючи перестановки, визначається, скількома різними способами можна перевпорядкувати елементи множини, не змінюючи їхньої кількості.
Кількість перестановок позначається як \(,\) де \(n\) — кількість елементів множини.
Перестановки обчислюються за формулою
Якщо дана множина із двох елементів {\(a;\) \(b\)}, то з цієї множини можна скласти дві впорядковані вибірки: \(a; b\) і \(b; a.\)
Із двох елементів \((n = 2)\) можна скласти \(2\) перестановки, тобто \(.\)
Якщо дано \(3\) елементи {\(a;\) \(b;\) \(c\)} то розміщення такі:
\(1.\) \(a;b;c\) \(3.\) \(b;a;c\) \(5.\) \(c;a;b\)
\(2.\) \(a;c;b\) \(4.\) \(b;c;a\) \(6.\) \(c;b;a\)
Дані елементи можна перевпорядкувати \(6\) способами, тобто \(.\)
Зверни увагу!
У завданнях на перестановки неважливо називати самі перестановки, а важливо називати їхню кількість.
Приклад:
Завдання 1. Скількома різними способами можна скласти список учнів із \(6\) людей?
Відповідь: список учнів можна скласти \(720\) різними способами.
Завдання 2. У змаганнях беруть участь \(6\) команд: \(A;\) \(B;\) \(C;\) \(D;\) \(E\) і \(F.\)Скільки існує варіантів розташувань команд із першого по шосте місце, де команда \(A\) не перебуває ні на першому, ні на останньому місці?
\(1.\) Обчислюються всі можливі порядки розміщення команд.
(Для команди \(A\) є \(6\) різних позицій: \(1\)-е місце, \(2\)-е місце, \(3\)-е місце \(…\) \(6\)-е місце)
(Для команди \(A\) є \(6\) різних позицій: \(1\)-е місце, \(2\)-е місце, \(3\)-е місце \(…\) \(6\)-е місце)
\(2.\) Обчислюються всі можливі порядки, де команда \(A\) не на першому місці.
(Отже, для команди \(A\) є тільки \(5\) різних позицій: \(2\)-е місце, \(3\)-е місце \(…\) \(6\)-е місце)
\(3.\) Обчислюються всі можливі порядки, де команда \(A\) не на останньому місці.
(Отже, для команди \(A\) є \(5\) різних позицій: \(1\)-е місце, \(2\)-е місце, \(3\)-е місце, \(4\)-е місце, \(5\)-е місце)
(Отже, для команди \(A\) є \(5\) різних позицій: \(1\)-е місце, \(2\)-е місце, \(3\)-е місце, \(4\)-е місце, \(5\)-е місце)
\(4.\) Обчислюється, скільки існує варіантів розташувань команд із першого по шосте місце, де команда \(A\) не перебуває ні на першому, ні на останньому місці. Від кількості всіх можливих варіантів віднімаються обчислені обмеження: \(720 - (120+120) = 480\) (способів).
Відповідь: за даних умов команди можна розставити \(480\) різними способами.