Центральні тенденції — урок. Алгебра, 11 клас.

У статистиці досліджують різні сукупності даних — числових значень випадкових величин із урахуванням частот, із якими вони зустрічаються в сукупності.

При цьому сукупність усіх даних називають генеральною сукупністю, а будь-яку вибрану з неї частину — вибіркою.

У статистичних дослідженнях вибірку називають репрезентативною, якщо в ній присутні ті й тільки ті значення випадкової величини, що і в генеральній сукупності, причому частоти наявних у ній даних знаходяться практично в тих же відношеннях, що і в генеральній сукупності.

Сукупність даних іноді буває корисно охарактеризувати (оцінити) одним числом — мірою центральної тенденції числових значень її елементів. До таких характеристик належать мода, медіана та середнє.

Мода (позначають

Mo

) — це значення випадкової величини, що має найбільшу частоту в розглянутій вибірці.

Приклад:

Mода вибірки $7, 6, 2, 5, 6, 1$ дорівнює $6,$ a вибірка $2, 3, 8, 2, 8, 5$ має дві моди: $Mo$ $= 2,$ $Mo$ $= 8.$

Медіана (позначають

Me

) — це число (значення випадкової величини), що ділить упорядковану вибірку на дві рівні за кількістю даних частини.

Якщо у впорядкованій вибірці непарна кількість даних, то медіана дорівнює серединному з них.

Якщо у впорядкованій вибірці парна кількість даних, то медіана дорівнює середньому арифметичному двох серединних чисел.

Приклад:

$1)$ $5, 9, 1, 4, 5, -2 , 0;$ $2)$ $7, 4, 2, 3, 6, 1$.

$1)$ розташуємо елементи вибірки в порядку зростання: $-2 , 0, 1, 4, 5, 5, 9.$ Кількість даних — непарна. Ліворуч і праворуч від числа $4$ знаходяться по $3$ елементи, тобто $4$ — серединне число вибірки, тому $Me$ $= 4.$

$2)$ упорядкуємо елементи вибірки: $1, 2, 3, 4, 6, 7.$ Кількість даних — парна. Серединні дані вибірки: $3$ і $4,$ тому $Me = \frac{3 + 4}{2} = 3,5$ $.$

Середнє (або середнє арифметичне) вибірки — це число, що дорівнює відношенню суми всіх чисел вибірки до їхньої кількості.

Якщо розглядається сукупність значень випадкової величини $X$ $,$ то її середнє позначають $\bar{X}$ $.$

Приклад:

Знайди середнє вибірки значень випадкової величини $X$ $,$ розподіл яких за частотами подано в таблиці:

$X$	$2$	$3$	$4$	$8$	$10$
$M$	$1$	$2$	$3$	$1$	$1$

\bar{X} = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 1 + 10 \cdot 1}{1 + 2 + 3 + 1 + 1} = \frac{38}{8} = 4,75

Однією з найбільш поширених характеристик вибірки значень випадкової величини, чий розподіл за ймовірностями відомий, є так зване математичне очікування.

Нехай розподіл за ймовірностями $P$ значень деякої випадкової величини $X$ задано таблицею:

$X$	$X_{1}$	$X_{2}$	...	$X_{n - 1}$	$X_{n}$
$P$	$P_{1}$	$P_{2}$	…	$P_{n - 1}$	$P_{n}$

Тоді число $E$ $,$ де $E = X_{1} \cdot P_{1} + X_{2} \cdot P_{2} + ... + X_{n - 1} \cdot P_{n - 1} + X_{n} \cdot P_{n}$ $,$ називають математичним очікуванням (або середнім значенням) випадкової величини $X$ .

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

\(X\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(8\)	\(10\)
\(M\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(1\)	\(1\)

1. Центральні тенденції

Теорія: