1. Основні властивості невизначеного інтеграла

Основні властивості невизначеного інтеграла

\(1.\)

(\int f (x) dx)' = f (x)

\(2.\)

\int F' (x) dx = F (x) + C

\(3.\)

\int kf (x) dx = k \int f (x) dx

\(,\) якщо

k \neq 0

\(.\)

\(4.\)

\int (f (x) \pm g (x)) dx = \int f (x) dx \pm \int g (x) dx

Доведення властивостей невизначеного інтеграла

Позначимо первісну функції \(f(x)\) як \(F(x),\) тобто

F' (x) = f (x)

\(,\) або

\int f (x) dx = F (x) + C

\(.\) Так само

G' (x) = g (x)

\(.\)

Доведення першої властивості:

(\int f (x) dx)' = (F (x) + C)' = F' (x) = f (x)

Доведення другої властивості:

\int F' (x) dx = \int f (x) dx = F (x) + C

Доведення третьої властивості:

\int kf (x) dx = \int kF' (x) dx = \int (kF (x))' dx = kF (x) + C = k (F (x) + C) = k \int f (x) dx

Тут було використано те, що при діленні сталої на ненульову сталу в результаті також отримуємо сталу.

Доведення четвертої властивості:

\begin{array}{l} \int (f (x) \pm g (x)) dx = \int (F' (x) \pm g (x)) dx = \int (F (x) \pm G (x))' dx = F (x) \pm G (x) + C = \\ = (F (x) + C_{f}) \pm (G (x) + C_{g}) = \int f (x) dx \pm \int g (x) dx \end{array}

Тут було використано те, що додаючи або віднімаючи дві сталі, отримуємо сталу.

Знайшли помилку?