Логарифмічні нерівності — урок. Алгебра, 11 клас.

Розв'язування логарифмічних нерівностей ґрунтується на властивості монотонності логарифмічної функції.

Тому розв'язування нерівностей виду

\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)

зводиться до розв'язування відповідних нерівностей для функцій \(f(x)\) і \(g(x).\)

Зверни увагу!

Якщо основа \(a>1,\) то переходять до нерівності \(f(x) > g(x)\) (знак нерівності не змінюється), оскільки в цьому випадку логарифмічна функція зростаюча.

Якщо основа \(0 < a < 1,\) то переходять до нерівності \(f(x)< g(x)\) (знак нерівності змінюється), оскільки в цьому випадку логарифмічна функція спадна.

В обох випадках додатково знаходять \(ОДЗ\)\(:\)

\{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) > 0 \end{cases}

(за умови, що основа

a > 0, a \neq 1

)

Отримана множина розв'язків нерівності повинна входити в \(ОДЗ,\) тому знаходять перетин множин.

Приклад:

Розв'яжи нерівність:

\log_{2} (3 - x) < - 1

Розв'язання

\begin{array}{l} \log_{2} (3 - x) < - 1 ОДЗ: \\ \log_{2} (3 - x) < \log_{2} 2^{- 1} 3 - x > 0 \\ \log_{2} (3 - x) < \log_{2} 0,5 - x > - 3 \\ 3 - x < 0,5 x < 3 \\ - x < 0,5 - 3 x \in (- \infty; 3) \\ - x < - 2,5 \\ x > 2,5 \\ x \in (2,5; + \infty) \end{array}

\{\begin{cases} x \in (2,5; + \infty) \\ x \in (- \infty; 3) \end{cases}

\(2,5\) \(3\)

Відповідь:

x \in (2,5; 3)

Приклад:

Розв'яжи нерівність:

\log_{0,5} (x - 2) \geq \log_{0,5} (2x - 12)

Розв'язання

\begin{array}{l} ОДЗ: \\ \{\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 2x - 12 > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > 2 \\ 2x > 12 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > 2 \\ x > 6 \end{cases} \Rightarrow x > 6 \\ x \in (6; + \infty) \end{array}

\begin{array}{l} \log_{0,5} (x - 2) \geq \log_{0,5} (2x - 12) \\ x - 2 x \leq x - 12 \\ x - 2x \leq - 12 + 2 \\ - x \leq - 10 \\ x \geq 10 \end{array}

\{\begin{cases} x \in [10; + \infty) \\ x \in (6; + \infty) \end{cases}

\(6\) \(10\)

Відповідь:

x \in [10; + \infty)

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!