Метод введення нової змінної — урок. Алгебра, 11 клас.

Рівняння вигляду

f (\log_{a} x) = 0

розв'язуються за допомогою підстановки

t = \log_{a} x

яка приводить рівняння до вигляду

f (t) = 0

Якщо \(t\) – корінь рівняння

f (t) = 0

, тоді після повернення до підстановки

t = \log_{a} x

можна знайти корінь вихідного логарифмічного рівняння,

тобто

x = a^{t}

(аналогічно знаходяться й інші корені, якщо вони є).

Приклад:

Розв'язати рівняння:

\log_{2}^{2} (x + 4) = 2 \log_{2} (x + 4) + 3

Розв'язок:

\begin{array}{l} \log_{2}^{2} (x + 4) = 2 \log_{2} (x + 4) + 3 \\ \log_{2} (x + 4) = t \\ t^{2} - 2 t - 3 = 0 \\ \{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 2 \\ t_{1} \cdot t_{2} = - 3 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t_{1} = - 1 \\ t = 3 \end{cases} \\ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \log_{2} (x + 4) = - 1 \\ \begin{array}{l} 2^{- 1} = x + 4 \\ 0,5 = x + 4 \\ 0,5 - 4 = x \end{array} \\ \underline{\underline{x = - 3,5}} \end{array} & \begin{array}{l} \log_{2} (x + 4) = 3 \\ \begin{array}{l} 2^{3} = x + 4 \\ 8 = x + 4 \\ 8 - 4 = x \end{array} \\ \underline{\underline{x = 4}} \end{array} \end{array} \end{array}

ОДЗ:

\begin{array}{l} x + 4 > 0 \\ x > - 4 \\ x \in (- 4 \in; + \infty) \end{array}

\(x=-3,5\) та \(x=4\) обидва належать ОДЗ

Відповідь: \(-3,5; 4\)

Приклад:

Розв'язати рівняння:

{2log}_{4}^{2} x - 5 \log_{4} x = - 2

Розв'язок:

{2log}_{4}^{2} x - 5 \log_{4} x + 2 = 0

Позначивши

\log_{4} x = t

, отримаємо рівняння

2 t^{2} - 5 t + 2 = 0

Корені цього рівняння

t_{1} = \frac{1}{2}, t_{2} = 2

Із рівняння

\log_{4} x = \frac{1}{2}

знаходимо, що

x = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2

а з рівняння

\log_{4} x = 2

, випливає, що

x = 4^{2}

, тобто \(x=16\).

Обидва кореня належать ОДЗ:\(x>0\).

Відповідь:

2; 16

Приклад:

Завдання. Знайти корені рівняння

\log_{x} (6 - x) = 2

Розв'язок.

ОДЗ:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} - x > - 6 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < 6 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ x \in (0; 1) \cup (1; 6) \end{array}

Введемо нову змінну:

\begin{array}{l} 6 - x = t \\ \log_{x} t = 2 \\ x^{2} = t \end{array}

Повернемося до позначеного

\begin{array}{l} x^{2} = 6 - x \\ x^{2} + x - 6 = 0 \\ x_{1} = - 3, x_{2} = 2 \end{array}

Перший корінь не належить ОДЗ, а отже коренем є \(x=2\)

Відповідь: \(x=2\)

Знайшли помилку?

3. Метод введення нової змінної