1. Рівносильність рівнянь. Теореми про рівносильність рівнянь

Два рівняння з однією змінною

f (x) = g (x)

p (x) = h (x)

називаються рівносильними, якщо множини їхніх коренів збігаються.

Інакше кажучи, два рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають однакові корені або якщо обидва рівняння не мають коренів.

Якщо кожен корінь рівняння

f (x) = g (x)

\((1)\) є водночас коренем рівняння

p (x) = h (x)

\((2),\) то рівняння \((2)\) називають наслідком рівняння \((1).\)

Приклад:

Рівняння

{(x - 2)}^{2} = 9

є наслідком рівняння

x - 2 = 3

\(.\)

Насправді розв'язавши кожне рівняння, отримаємо:

\begin{array}{l} {(x - 2)}^{2} = 9 \\ x - 2 = 3; x - 2 = - 3 \\ x_{1} = 5; x_{2} = - 1 \end{array}

\begin{array}{l} x - 2 = 3 \\ x = 5 \end{array}

Корінь другого рівняння є одним із коренів першого рівняння, тому перше рівняння — наслідок другого рівняння.

Очевидним є наступне твердження.

Два рівняння рівносильні тоді й тільки тоді, коли кожне з них є наслідком іншого.
Розв'язання рівняння, як правило, здійснюється в три етапи.

Перший етап — технічний.

На цьому етапі здійснюються перетворення за схемою

(1) \to (2) \to (3) \to (4) \to ...

і знаходяться корені останнього (найпростішого) рівняння вказаного ланцюжка.

Другий етап — аналіз розв'язання.

На цьому етапі аналізується, чи всі проведені перетворення були рівносильними.

Третій етап — перевірка.

Якщо аналізуючи перетворення на другому етапі, робимо висновок, що отримали рівняння-наслідок, то обов'язковою є перевірка всіх знайдених коренів методом їх підстановки в початкове рівняння.

Зверни увагу!

Розв'язання рівнянь, що зустрічаються в шкільному курсі, ґрунтується на шести теоремах про

рівносильність.

Теорема \(1\)

Якщо який-небудь член рівняння перенести з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, то вийде рівняння, рівносильне даному.

Теорема \(2\)

Якщо обидві частини рівняння піднести до одного й того самого непарного степеня, то вийде рівняння, рівносильне даному.

Теорема \(3\)

Показникове рівняння

a^{f (x)} = a^{g (x)}

\(,\) де \(a>0,\)

a \neq 1

рівносильне рівнянню

f (x) = g (x)

\(.\)

Областю визначення рівняння

f (x) = g (x)

або областю допустимих значень змінної \((ОДЗ)\) називають множину тих значень змінної \(x,\) за яких одночасно мають зміст вирази \(f(x)\) і \(g(x).\)

Теорема \(4\)

Якщо обидві частини рівняння

f (x) = g (x)

помножити на один і той самий вираз \(h(x),\) який:

\(a)\) має зміст усюди в області визначення (в області допустимих значень) рівняння

f (x) = g (x)

\(;\)

\(b)\) ніде в цій області не перетворюється на \(0,\)

то вийде рівняння

f (x) \cdot h (x) = g (x) \cdot h (x)

\(,\) рівносильне даному.

Наслідок теореми \(4\)

Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме, відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.

Теорема \(5\)

Якщо обидві частини рівняння