Теорія:

Для будь-яких значень \(n\) і \(m\) (0mn) дійсна рівність Cnm=Cnnm\(.\)
Знаючи дану властивість, можна прискорити розв'язання завдань.
Приклад:
У магазині \(7\) різних майок. Галина хоче приміряти \(2\) майки, а Інна — \(5.\) Скільки існує можливостей у дівчаток кожен раз вибрати новий комплект для примірки?

У Галини C72=7!2!72!=7654!214!=105 можливостей вибрати майки, а в Інни — C75 можливостей.
 
Оскільки C75=C775=C72\(,\) то без обчислень зрозуміло, що в обох дівчаток однакова кількість можливостей, тобто \(105.\)
Для кількості комбінацій діє властивість: 
 
Cn+1m=Cnm1+Cnm,(1mn)
 
Наприклад, C31=C20+C21;C32=C21+C22\(.\)
 
Для будь-якого допустимого значення \(n\) діє Cn0=1;Cnn=1\(.\)
 
Використовуючи дві останні властивості, з комбінацій можна скласти трикутник Паскаля.
  
Трикутну таблицю прийнято називати трикутником Паскаля (на честь французького математика \(XVII\) \(ст.\)). Даний трикутник був відомий уже в \(II\) \(ст.\) \(до\) \(н. е.\) в стародавній Індії. У \(XII\) \(ст.\) він з'явився в роботах математиків Китаю. У Європі в \(XVI\) \(ст.\) його описав німецький математик М. Штіфель, а потім Паскаль у \(XVII\) \(ст.\)

Трикутник Паскаля складається з числових рядків (див. малюнок). На першій сходинці одне число, на другій — два, на третій — три, і т.д. Перше й останнє число кожного рядка дорівнює \(1.\) Кожне з інших чисел дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел попереднього рядка.
 
paskāls2.bmp
 
Трикутник Паскаля з комбінаціями:
 
Pask3.bmp
Використовуючи трикутник Паскаля, можна зробити висновок, що додавши числа в будь-якому рядку трикутника Паскаля, можна отримати степінь числа \(2.\)
 Cn0+Cn1+...+Cnn1+Cnn=2n, якщо n=0;1;2;3;...