Деякі символи математичної мови
Ти вже добре ознайомлений із натуральними числами: \(1, 2, 3, 4...\)
Множину всіх натуральних чисел зазвичай позначають буквою .
Якщо до натуральних чисел приєднати число \(0\) та всі цілі від'ємні числа: \(-1,-2,-3,-4, ...,\) отримаємо множину цілих чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою .
Якщо до множини цілих чисел приєднати всі звичайні дроби: тощо, отримаємо множину раціональних чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою .
Використовуючи введені позначення , , , слід пам'ятати:
1. Замість фрази «\(n\) — натуральне число» можна писати (читається: «елемент \(n\) належить множині »).
2. Замість фрази «\(m\) — ціле число» можна писати .
3. Замість фрази «\(r\) — раціональне число» можна писати .
Зрозуміло, що — частина множини , а — частина множини . Для опису цієї ситуації в математиці також є спеціальне позначення: .
Зверни увагу!
Математичний символ називають знаком належності (елемент належить множині).
Математичний символ називають знаком включення (одна множина знаходиться в іншій).
У математиці запис означає, що \(x\) — один із елементів множини \(X\).
Запис означає, що множина \(A\) є частиною множини \(B\). Математики частіше кажуть так: \(A\) — підмножина множини \(B\).
Зверни увагу!
Множини в математиці зазвичай позначають великими буквами, а елементи множин — маленькими.
А як записати, що елемент \(x\) не належить множині \(X\) або що множина \(A\) не є частиною (підмножиною) множини \(B\) ?
Для цього використовують ті самі символи, але перекреслені скісною рискою: .
Раціональні числа як нескінченні десяткові періодичні дроби
Для всіх цих чисел можна використовувати той самий спосіб запису, про який поговоримо далі.
Розглянемо, наприклад, ціле число \(5\), звичайний дріб і десятковий дріб \(8,377\).
Ціле число \(5\) можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: \(5,0000 ...\) Десятковий дріб \(8,377\) також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: \(8,377000 ...\) Для числа скористаємося методом «ділення кутом»:
Як бачимо, починаючи з другої цифри після коми відбувається повторення тієї самої групи цифр: \(18, 18, 18, ...\). Отже, \(= 0,3181818...\) . Коротше це записують так: \(0,3(18)\).
Повторювану групу цифр після коми називають періодом, а сам десятковий дріб — нескінченним десятковим періодичним дробом.
До речі, число \(5\) також можна зобразити у вигляді нескінченного десяткового дробу. Для цього потрібно в періоді записати число \(0\):
\(5 = 5,00000... = 5,(0)\).
Зверни увагу!
Взагалі, будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.
Цей висновок зручний для теорії, але не надто зручний для практики. Адже, якщо в нас є скінченний десятковий дріб \(8,377\), навіщо потрібен його запис у вигляді \(8,377 (0)\)?
Тож зазвичай говорять так: будь-яке раціональне число можна записати у вигляді скінченного десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.
Вище ми показали, як звичайний дріб зображають у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Правильним є і протилежне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного дробу.
Це означає, що будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб є раціональним числом.