2. Властивості функцій

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — параболу.

 

 

1. Оскільки для будь-якого значення \(x\) за формулою $y=k{x}^2$ можна обчислити відповідне значення \(y\), то функція визначена в будь-якій точці \(x\) (за будь-якого значення аргументу \(x\)).

 

Коротше це записують так: область визначення функції є $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$, тобто вся координатна пряма.

 

2. \(y = 0\), якщо \(x = 0\); \(у > 0\), якщо $x\ne 0$. Це видно і з графіку функції (він увесь розташований вище від осі \(x\)). Але це можна обґрунтувати  й без допомоги графіка: якщо $x\ne 0$, тоді $k{x}^2>0$ як добуток двох додатних чисел \(k\) та $x^2$.

 

3. $y=k{x}^2$ — неперервна функція.

 

4.  $y_{\text{найм}}=0$ (досягається, якщо \(х = 0\)); $y_{\text{найб}}$ не існує.

 

5. Функція $y=k{x}^2$ зростає, якщо $x\ge 0$ та спадає, якщо $x\le 0$.

 

У \(7\)-му класі процес перерахування властивостей функції ми називали читанням графіка.

 

Процес читання графіка ставатиме все більш насиченим і цікавим, адже ми будемо вивчати нові властивості функцій.

 

П'ять перерахованих вище властивостей ми обговорювали в \(7\)-му класі для вивчених тоді функцій. Додамо одну нову властивість.

 

Тепер поглянь: графік функції $y=k{x}^2$ розташований вище від прямої \(у = -1\) (або \(у = - 2\), це неважливо), яка проведена на малюнку.

 

 

Отже, $y=k{x}^2$ \((k > 0)\) — обмежена знизу функція.   

 

Поряд із функціями, обмеженими знизу, розглядаються і функції, обмежені зверху.

Чи існує така пряма для параболи $y=k{x}^2$, де \(k > 0\)? Ні. Це означає, що функція не є обмеженою зверху.

 

Отже, ми отримали ще одну властивість. Додамо її до тих п'яти, які вказані вище.

 

6. Функція $y=k{x}^2$ \((k > 0)\) обмежена знизу та необмежена зверху.

 

7. Область значень функції $y=k{x}^2$ \((k>0)\) — промінь $\left[0;\left.+\mathrm{\infty }\right)\right.$.

 

8. Функція опукла вниз.