Перетворення виразів, що містять операцію добування квадратного кореня

Вправи на перетворення виразів, що містять квадратні корені

Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені

www.ua.pistacja.tv

Досі ми виконували перетворення лише раціональних виразів, використовуючи для цього правила дій над многочленами та алгебраїчними дробами, формули скороченого множення і т. ін.

Тепер ми вводимо нову операцію — операцію добування квадратного кореня.

Ми встановили, що:

\begin{array}{l} {(\sqrt{a})}^{2} = a; \\ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}; \\ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}; \\ \sqrt{a^{2}} = |a|; \\ \sqrt{a^{2 n}} = |a^{n}| \end{array}

де \(a, b\) — додатні числа.

Застосовуючи ці формули, можна виконувати різні перетворення виразів, що містять операцію добування квадратного кореня.

Розглянемо кілька прикладів, причому у всіх прикладах ми будемо припускати, що змінні набувають лише невід'ємних значень.

Приклад:

1. Спрости вираз:

\sqrt{a^{2} b^{4}}

\sqrt{a^{2} b^{4}} = \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{b^{4}} = |a| \cdot |b^{2}| = a b^{2}

2. Спрости вираз:

\sqrt{\frac{16 a^{4}}{9 b^{6}}}

\sqrt{\frac{16 a^{4}}{9 b^{6}}} = \frac{\sqrt{16 a^{4}}}{\sqrt{9 b^{6}}} = \frac{4 a^{2}}{3 b^{3}}

3. Винеси множник з-під знака квадратного кореня:

\sqrt{81 a} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a} = 9 \sqrt{a}

\sqrt{32 a^{2}} = \sqrt{16 \cdot a^{2} \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{2} = 4 a \sqrt{2}

4. Внеси множник під знак квадратного кореня:

2 \sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}

5. Виконай дії:

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})

Нехай

\sqrt{a} = x, \sqrt{b} = y

. Тоді

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

Але

x^{2} = a; y^{2} = b

, отже,

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b

6. Перетвори заданий алгебраїчний вираз до такого вигляду, щоб знаменник дробу не містив знаків квадратних коренів:

\frac{1}{\sqrt{2}}

Скористаємося тим, що значення дробу не зміниться, якщо його чисельник і знаменник одночасно помножити на те саме, відмінне від нуля число або вираз. Помноживши чисельник і знаменник дробу на

\sqrt{2}

, отримаємо:

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Якщо знаменник алгебраїчного дробу містить знак квадратного кореня, то зазвичай говорять, що в знаменнику міститься ірраціональність.

Перетворення виразу до такого вигляду, щоб у знаменнику дробу не виявилося знаків квадратних коренів, називають зазвичай звільненням від ірраціональності в знаменнику.

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

1. Перетворення виразів, що містять операцію добування квадратного кореня

Теорія: