2. Розкладання квадратного тричлена на множники

Основне призначення теореми Вієта не в тому, що вона виражає деякі співвідношення між коренями та коефіцієнтами квадратного рівняння.

Набагато важливіше те, що за допомогою теореми Вієта виводиться формула розкладання квадратного тричлена на множники.

Якщо

x_{1}

x_{2}

— корені квадратного тричлена

a x^{2} + bx + c

, то правильною є тотожність

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Доведення

Маємо:

a x^{2} + bx + c = a \cdot (x^{2} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a})

За теоремою Вієта:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Отже:

\begin{array}{l} a \cdot (x^{2} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a}) = a (x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}) = a (x^{2} - x_{1} x - x_{2} x + x_{1} x_{2}) = \\ = a (x (x - x_{1}) - x_{2} (x - x_{1})) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \end{array}

Якщо дискримінант квадратного тричлена

a x^{2} + bx + c

дорівнює нулю, тобто

x_{1} = x_{2}

, то доведена формула набуває вигляду

a x^{2} + bx + c = a {(x - x_{1})}^{2}

Якщо квадратний тричлен розкладається на лінійні множники, то він має корені.

Якщо квадратний тричлен не має коренів, то його не можна розкласти на лінійні множники.

Якщо числа

x_{1}

x_{2}

такі, що

x_{1} + x_{2} = - p; x_{1} \cdot x_{2} = q

, то ці числа — корені рівняння

x^{2} + px + q = 0

Знайшли помилку?