Функція y=k/x — урок. Алгебра, 8 клас.

Функція

y = \frac{k}{x}

Познайомимося з новою функцією:

y = \frac{k}{x}

Коефіцієнт $k$ може приймати будь-які значення, крім $k = 0$. Розглянемо спочатку випадок, коли $k = 1$; отже, спочатку поговоримо про функцію

y = \frac{1}{x}

Щоб побудувати графік функції

y = \frac{1}{x}

, надамо незалежній змінній $x$ декілька конкретних значень та обчислимо (за формулою

y = \frac{1}{x}

) відповідні значення залежної змінної $y$.

Щоправда, в цьому випадку зручніше здійснювати обчислення та побудову поступово — спочатку надавати аргументу лише додатних значень, а потім — лише від'ємних.

Перший етап

Якщо $x = 1$, то $y = 1$ (нагадаємо, що ми користуємося формулою

y = \frac{1}{x}

);

якщо $x = 2$, то

y = \frac{1}{2}

;

якщо $x = 4$, то

y = \frac{1}{4}

;

якщо $x = 8$, то

y = \frac{1}{8}

;

якщо

x = \frac{1}{2}

, то $y = 2$;

якщо

x = \frac{1}{4}

, то $y = 4$;

якщо

x = \frac{1}{8}

, то $y = 8$.

Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:

$x$	$1$	$2$	$4$	$8$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$
$y$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$2$	$4$	$8$

Побудуємо знайдені точки на координатній площині $xOy$.

Другий етап

якщо $x = -1$, то $y = -1$;

якщо $x = -2$, то

y = - \frac{1}{2}

;

якщо $x= -4$, то

y = - \frac{1}{4}

;

якщо $x = -8$, то

y = - \frac{1}{8}

;

якщо

x = - \frac{1}{2}

, то $y = -2$;

якщо

x = - \frac{1}{4}

, то $y = -4$;

якщо

x = - \frac{1}{8}

, то $y = -8$.

Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:

$x$	$-1$	$-2$	$-4$	$-8$	$-$ $\frac{1}{2}$	$-$ $\frac{1}{4}$	$-$ $\frac{1}{8}$
$y$	$-1$	$-$ $\frac{1}{2}$	$-$ $\frac{1}{4}$	$-$ $\frac{1}{8}$	$-2$	$-4$	$-8$

Побудуємо знайдені точки на координатній площині $xOy$.

Тепер об'єднаємо два етапи в один, тобто із двох малюнків зробимо один.

Це і є графіком функції

y = \frac{1}{x}

, який називається гіперболою.

Спробуємо за кресленням описати геометричні властивості гіперболи.

Будь-яка пряма, що проходить через початок координат $O$ та розташована в першому і третьому координатних кутах, перетинає гіперболу в двох точках, які лежать на цій прямій по різні сторони від точки $O$, але на рівних відстанях від неї. Це властиво, зокрема, точкам $(1; 1)$ і $(- 1; - 1)$,

(2; \frac{1}{2})

(- 2; - \frac{1}{2})

тощо.

Отже, $O$ — центр симетрії гіперболи. Говорять також, що гіпербола симетрична відносно початку координат.

По-друге, ми бачимо, що гіпербола складається з двох частин, їх зазвичай називають гілками гіперболи.

По-третє, помічаємо, що кожна гілка гіперболи в одному напрямку підходить все ближче і ближче до осі абсцис, а в іншому напрямку — до осі ординат. У подібних випадках відповідні прямі називають асимптотами.

Отже, графік функції

y = \frac{1}{x}

, тобто гіпербола, має дві асимптоти: вісь $x$ та вісь $y$.

Якщо уважно проаналізувати побудований графік, можна виявити ще одну геометричну властивість, яка не настільки очевидна, як три попередні (математики звичайно говорять так: «більш тонка властивість»).

Зверни увагу!

Гіпербола має не лише центр симетрії, а й осі симетрії.

Побудуємо пряму $y = x$.

Тепер дивимося: точки

(2; \frac{1}{2}) та (\frac{1}{2}; 2)

розташовані по різні сторони від проведеної прямої, але на рівних відстанях від неї. Вони симетричні відносно цієї прямої.

Те саме можна сказати про точки

(4; \frac{1}{4}) і (\frac{1}{4}; 4), (8; \frac{1}{8}) і (\frac{1}{8}; 8)

тощо.

Отже, пряма $y =x$ — вісь симетрії гіперболи

y = \frac{1}{x}

(так само, як і $y = -x$).

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(8\)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$
\(y\)	\(1\)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	\(2\)	\(4\)	\(8\)

\(x\)	\(-1\)	\(-2\)	\(-4\)	\(-8\)	\(-\) $\frac{1}{2}$	\(-\) $\frac{1}{4}$	\(-\) $\frac{1}{8}$
\(y\)	\(-1\)	\(-\) $\frac{1}{2}$	\(-\) $\frac{1}{4}$	\(-\) $\frac{1}{8}$	\(-2\)	\(-4\)	\(-8\)

1. Функція y=k/x

Теорія: