Функція
Познайомимося з новою функцією:
Коефіцієнт k може приймати будь-які значення, крім k = 0. Розглянемо спочатку випадок, коли k = 1; отже, спочатку поговоримо про функцію .
Щоб побудувати графік функції , надамо незалежній змінній x декілька конкретних значень та обчислимо (за формулою ) відповідні значення залежної змінної y.
Щоправда, в цьому випадку зручніше здійснювати обчислення та побудову поступово — спочатку надавати аргументу лише додатних значень, а потім — лише від'ємних.
Перший етап
якщо x = 2, то ;
якщо x = 4, то ;
якщо x = 8, то ;
якщо , то y = 2;
якщо , то y = 4;
якщо , то y = 8.
Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:
x | 1 | 2 | 4 | 8 | |||
y | 1 | 2 | 4 | 8 |
Побудуємо знайдені точки на координатній площині xOy.
Другий етап
якщо x = -1, то y = -1;
якщо x = -2, то ;
якщо x= -4, то ;
якщо x = -8, то ;
якщо , то y = -2;
якщо , то y = -4;
якщо , то y = -8.
Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:
x | -1 | -2 | -4 | -8 | - | - | - |
y | -1 | - | - | - | -2 | -4 | -8 |
Побудуємо знайдені точки на координатній площині xOy.
Тепер об'єднаємо два етапи в один, тобто із двох малюнків зробимо один.
Це і є графіком функції , який називається гіперболою.
Будь-яка пряма, що проходить через початок координат O та розташована в першому і третьому координатних кутах, перетинає гіперболу в двох точках, які лежать на цій прямій по різні сторони від точки O, але на рівних відстанях від неї. Це властиво, зокрема, точкам (1; 1) і (- 1; - 1), і тощо.
Отже, O — центр симетрії гіперболи. Говорять також, що гіпербола симетрична відносно початку координат.
По-друге, ми бачимо, що гіпербола складається з двох частин, їх зазвичай називають гілками гіперболи.
По-третє, помічаємо, що кожна гілка гіперболи в одному напрямку підходить все ближче і ближче до осі абсцис, а в іншому напрямку — до осі ординат. У подібних випадках відповідні прямі називають асимптотами.
Отже, графік функції , тобто гіпербола, має дві асимптоти: вісь x та вісь y.
Якщо уважно проаналізувати побудований графік, можна виявити ще одну геометричну властивість, яка не настільки очевидна, як три попередні (математики звичайно говорять так: «більш тонка властивість»).
Зверни увагу!
Гіпербола має не лише центр симетрії, а й осі симетрії.
Побудуємо пряму y = x.
Тепер дивимося: точки розташовані по різні сторони від проведеної прямої, але на рівних відстанях від неї. Вони симетричні відносно цієї прямої.
Те саме можна сказати про точки тощо.
Отже, пряма y =x — вісь симетрії гіперболи (так само, як і y = -x).