Функція y=kx
Познайомимося з новою функцією: y=kx
 
Коефіцієнт k може приймати будь-які значення, крім k = 0. Розглянемо спочатку випадок, коли k = 1; отже, спочатку поговоримо про функцію y=1x.
 
Щоб побудувати графік функції y=1x, надамо незалежній змінній x декілька конкретних значень та обчислимо (за формулою y=1x) відповідні значення залежної змінної y.
 
Щоправда, в цьому випадку зручніше здійснювати обчислення та побудову поступово — спочатку надавати аргументу лише додатних значень, а потім — лише від'ємних. 
Перший етап
Якщо x = 1, то y = 1 (нагадаємо, що ми користуємося формулою y=1x);
 
якщо x = 2, то y=12;
 
якщо x = 4, то y=14;
 
якщо x = 8, то y=18;
 
якщо x=12, то y = 2;
 
якщо x=14, то y = 4;
 
якщо x=18 , то y = 8.
 
Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:
 
x1248121418
y1121418248
 
Побудуємо знайдені точки на координатній площині xOy.
 
1_1.png
Другий етап
якщо x = -1, то y = -1;
 
якщо x = -2, то y=12;
 
якщо x= -4, то y=14;
 
якщо x = -8, то y=18;
 
якщо x=12, то y = -2;
 
якщо x=14, то y = -4;
 
якщо x=18, то y = -8.
 
Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:
 
x-1-2-4-8-12-14-18
y-1-12-14-18-2-4-8
 
Побудуємо знайдені точки на координатній площині xOy.
 
1_2.png
 
Тепер об'єднаємо два етапи в один, тобто із двох малюнків зробимо один.
 
1_3.png
 
Це і є графіком функції y=1x, який називається гіперболою.
Спробуємо за кресленням описати геометричні властивості гіперболи.
 
Будь-яка пряма, що проходить через початок координат O та розташована в першому і третьому координатних кутах, перетинає гіперболу в двох точках, які лежать на цій прямій по різні сторони від точки O, але на рівних відстанях від неї. Це властиво, зокрема, точкам (1; 1) і (- 1; - 1), 2;12 і 2;12 тощо.
 
Отже, O — центр симетрії гіперболи. Говорять також, що гіпербола симетрична відносно початку координат.
 
По-друге, ми бачимо, що гіпербола складається з двох частин,  їх зазвичай називають гілками гіперболи.
 
По-третє, помічаємо, що кожна гілка гіперболи в одному напрямку підходить все ближче і ближче до осі абсцис, а в іншому напрямку — до осі ординат. У подібних випадках відповідні прямі називають асимптотами.
 
Отже, графік функції y=1x, тобто гіпербола, має дві асимптоти: вісь x та вісь y.
 
Якщо уважно проаналізувати побудований графік, можна виявити ще одну геометричну властивість, яка не настільки очевидна, як три попередні (математики звичайно говорять так: «більш тонка властивість»).
 
Зверни увагу!
Гіпербола має не лише центр симетрії, а й осі симетрії.
Побудуємо пряму y = x.
 
1_4.png
 
Тепер дивимося: точки 2;12та12;2 розташовані по різні сторони від проведеної прямої, але на рівних відстанях від неї. Вони симетричні відносно цієї прямої.
 
Те саме можна сказати про точки 4;14 і 14;4,8;18 і 18;8 тощо. 
 
Отже, пряма y =x — вісь симетрії гіперболи y=1x (так само, як і y = -x).