Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

Раціональні рівняння можуть бути математичними моделями реальних ситуацій.

Приклад:

Поїзд мав проїхати \(60\)-кілометровий перегін із постійною швидкістю за проміжок часу, визначений розкладом. Простоявши біля семафора перед перегоном \(5\) \(хв\), машиніст змушений був збільшити швидкість проходження перегону на \(10\) \(км/год\), щоб надолужити втрачені \(5\) \(хв\) до закінчення проходження перегону. З якою швидкістю поїзд мав пройти перегін за розкладом?

Перший етап. Складання математичної моделі

Нехай \(x\) \(км/год\ \)— швидкість поїзда за розкладом.

Оскільки протяжність перегону дорівнює \(60\) \(км\), то час, відведений розкладом на проходження перегону, становить

\frac{60}{x}

\(год. \)

Фактично поїзд пройшов \(60\)-кілометровий перегін зі швидкістю \((x + 10)\) \(км/год.\) Отже, час, витрачений на проходження перегону, дорівнює

\frac{60}{x + 10}

\(год.\)

Із двох величин:

\frac{60}{x}

\(год\) і

\frac{60}{x + 10}

\(год\) — перша є більшою від другої на \(5\) \(хв\), тобто на

\frac{1}{12}

\(год. \)

Отже, ми можемо записати

\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = \frac{1}{12}

Математична модель задачі складена. Це раціональне рівняння.

Другий етап. Робота зі складеною моделлю

Маємо:

\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} - \frac{1}{12} = 0

Перетворимо ліву частину рівняння:

\frac{60^{(12 (x + 10)}}{x} - \frac{60^{12 x}}{x + 10} - \frac{1^{x (x + 10)}}{12} = \frac{720 (x + 10) - 720 x - x (x + 10)}{12 x (x + 10)} = \frac{- x^{2} - 10 x + 7200}{12 x (x + 10)}

Прирівнявши чисельник цього дробу до нуля, отримаємо квадратне рівняння

- x^{2} - 10 x + 7200 = 0

Скористаємося властивістю рівняння — поділимо кожен доданок на \(-1\):

x^{2} + 10 x - 7200 = 0

Застосовуючи відому формулу, знаходимо:

x_{1,2} = \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7200)}}{2} = \frac{- 10 \pm \sqrt{28900}}{2} = \frac{- 10 \pm 170}{2}

x_{1} = \frac{- 10 + 170}{2} = 80; x_{2} = \frac{- 10 - 170}{2} = - 90

Обидва значення задовольняють умову

12 x (x + 10) \neq 0

, отже, ці значення — корені складеного раціонального рівняння.

Третій етап. Відповідь на запитання задачі

У нас запитується, з якою швидкістю поїзд мав пройти перегін за розкладом. Саме цю величину ми позначили буквою \(x\). У результаті отримали або \(x = 80\), або \(x = -90\). Очевидно, що друге значення нас не влаштовує, оскільки швидкість руху поїзда не може виражатися від'ємним числом. Отже, вибираємо значення \(x = 80\). Це і є відповідь на запитання задачі.

Відповідь: \(80\) \(км/год.\)

Деякі коментарі до виконаного розв'язання

1. Звичайно, розглянена ситуація дещо ідеалізована. Навряд чи в реальному житті поїзд пройде весь перегін із постійною швидкістю, адже завжди є і прискорення, і уповільнення. Але на таку ідеалізацію математикам доводиться йти свідомо.

2. Вкотре звертаємо твою увагу на те, що ми скористалися звичною схемою міркувань: складання математичної моделі, робота зі складеною моделлю, відповідь на запитання задачі.

3. Підкреслимо, що перший етап, тобто складання математичної моделі, є ключовим під час розв'язання задачі. На цьому етапі здійснюється переклад умови задачі з буденної мови на математичну, тобто виконується серйозна творча робота. Серйозна робота проводиться і на другому етапі, але ця робота не творча, а суто технічна, оскільки, діючи за алгоритмом, особливо думати не доводиться.

Повернемося до розгляненої задачі та проаналізуємо, як здійснюється переклад із буденної мови на математичну.

Шукану величину ми позначили буквою \(x\). Це дало нам можливість оперувати з шуканою швидкістю, адже з погляду алгебри неважливо, маємо ми справу з числами чи з буквами.

Знаючи шлях (\(60 \) \(км\)) і швидкість (\(x\) \(км/год\)) та використавши фізичний закон рівномірного руху \(s = vt\) (\(s\) — шлях, \(v\) — швидкість, \(t\) — час), ми знайшли час, передбачений розкладом. Він виражається дробом

\frac{60}{x}

\(год. \)

За умовою перегін був пройдений зі швидкістю, більшою на \(10\) \(км/год\), ніж передбачалося розкладом. Переклад цієї умови на математичну мову дав наступне: \((x + 10)\) \(км/год\) — фактична швидкість проходження перегону, а