Перетворення виразів, що містять операцію добування квадратного кореня

Досі ми виконували перетворення лише раціональних виразів, використовуючи для цього правила дій над многочленами та алгебраїчними дробами, формули скороченого множення і т. ін.

Тепер ми вводимо нову операцію — операцію добування квадратного кореня.

Ми встановили, що:

\begin{array}{l} {(\sqrt{a})}^{2} = a; \\ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}; \\ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}; \\ \sqrt{a^{2}} = |a|; \\ \sqrt{a^{2 n}} = |a^{n}| \end{array}

де \(a, b\) — додатні числа.

Застосовуючи ці формули, можна виконувати різні перетворення виразів, що містять операцію добування квадратного кореня.

Розглянемо кілька прикладів, причому у всіх прикладах ми будемо припускати, що змінні набувають лише невід'ємних значень.

Приклад:

1. Спрости вираз:

\sqrt{a^{2} b^{4}}

\sqrt{a^{2} b^{4}} = \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{b^{4}} = |a| \cdot |b^{2}| = a b^{2}

2. Спрости вираз:

\sqrt{\frac{16 a^{4}}{9 b^{6}}}

\sqrt{\frac{16 a^{4}}{9 b^{6}}} = \frac{\sqrt{16 a^{4}}}{\sqrt{9 b^{6}}} = \frac{4 a^{2}}{3 b^{3}}

3. Винеси множник з-під знака квадратного кореня:

\sqrt{81 a} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a} = 9 \sqrt{a}

\sqrt{32 a^{2}} = \sqrt{16 \cdot a^{2} \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{2} = 4 a \sqrt{2}

4. Внеси множник під знак квадратного кореня:

2 \sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}

5. Виконай дії:

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})

Нехай

\sqrt{a} = x, \sqrt{b} = y

. Тоді

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

Але

x^{2} = a; y^{2} = b

, отже,

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b

6. Перетвори заданий алгебраїчний вираз до такого вигляду, щоб знаменник дробу не містив знаків квадратних коренів:

\frac{1}{\sqrt{2}}

Скористаємося тим, що значення дробу не зміниться, якщо його чисельник і знаменник одночасно помножити на те саме, відмінне від нуля число або вираз. Помноживши чисельник і знаменник дробу на

\sqrt{2}

, отримаємо:

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Якщо знаменник алгебраїчного дробу містить знак квадратного кореня, то зазвичай говорять, що в знаменнику міститься ірраціональність.

Перетворення виразу до такого вигляду, щоб у знаменнику дробу не виявилося знаків квадратних коренів, називають зазвичай звільненням від ірраціональності в знаменнику.

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

1. Перетворення виразів, що містять операцію добування квадратного кореня

Теорія: