Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

Раціональні рівняння можуть слугувати математичними моделями реальних ситуацій.

Приклад:

Перегін у \(60\) км поїзд мав проїхати з постійною швидкістю за визначений розкладом час. Простояв біля семафора перед перегоном \(5\) хв, машиніст був змушений збільшити швидкість проходження перегону на \(10\) км/год, щоб надолужити до закінчення проходження перегону втрачені \(5\) хв. З якою швидкістю поїзд повинен був пройти перегін за розкладом?

Перший етап. Складання математичної моделі.

Нехай \(x\) км/год — швидкість поїзда за розкладом.

Оскільки протяжність перегону дорівнює \(60\) км, то час, відведений розкладом на проходження перегону, становить

\frac{60}{x}

год.

Фактично поїзд пройшов перегін у \(60\) км зі швидкістю \((x + 10)\) км/год, отже, час, витрачений на проходження перегону, дорівнює

\frac{60}{x + 10}

год.

Із двох величин —

\frac{60}{x}

год і

\frac{60}{x + 10}

год перша більше другої на \(5\) хв, тобто на

\frac{1}{12}

год.

Отже, ми приходимо до рівняння:

\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = \frac{1}{12}

Математична модель задачі складена. Це раціональне рівняння.

Другий етап. Робота зі складеної моделлю.

Маємо

\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} - \frac{1}{12} = 0

Перетворимо ліву частину рівняння:

\frac{60^{(12 (x + 10)}}{x} - \frac{60^{12 x}}{x + 10} - \frac{1^{x (x + 10)}}{12} = \frac{720 (x + 10) - 720 x - x (x + 10)}{12 x (x + 10)} = \frac{- x^{2} - 10 x + 7200}{12 x (x + 10)}

Прирівняв чисельник цього дробу до нуля, отримаємо квадратне рівняння

- x^{2} - 10 x + 7200 = 0

або, переходячи до більш зручного запису,

x^{2} + 10 x - 7200 = 0

Застосувава відому формулу, знаходимо:

x_{1,2} = \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7200)}}{2} = \frac{- 10 \pm \sqrt{28900}}{2} = \frac{- 10 \pm 170}{2}

x_{1} = \frac{- 10 + 170}{2} = 80; x_{2} = \frac{- 10 - 170}{2} = - 90

Обидва значення задовольняють умові

12 x (x + 10) \neq 0

, отже, ці значення — корені складеного раціонального рівняння.

Третій етап. Відповідь на питання задачі.

Питається, з якою швидкістю поїзд повинен був пройти перегін за розкладом?

Саме цю величину ми позначили буквою \(x\). Отримали, що або \(x = 80\), або \(x = -90\). Друге значення нас не влаштовує, оскільки швидкість руху поїзда не може виражатися негативним числом. Отже, вибираємо значення \(x = 80\), це і є відповідь на питання задачі.

Відповідь: \(80\) км/год.

Зробимо деякі коментарі до виконаного розв'язання.

1. Звичайно, розглянута ситуація дещо ідеалізована: навряд чи в реальному житті поїзд пройде весь перегін із постійною швидкістю, адже завжди є і прискорення, і уповільнення. Але на таку ідеалізацію математикам доводиться йти свідомо.

2. У черговий раз звертаю твою увагу на те, що ми скористалися звичною схемою міркувань: складання математичної моделі, робота зі складеною моделлю, відповідь на питання завдання.

3. Підкреслимо, що перший етап, тобто складання математичної моделі — ключовий у розв'язанні завдання. На цьому етапі здійснюється переклад умови задачі з буденної мови на математичну мову, тобто виконується серйозна творча робота. Така ж робота проводиться і на другому етапі, але це не творча, а чисто технічна робота, оскільки, діємо за алгоритмом.

Повернемося до розглянутої задачі та проаналізуємо, як здійснюється переклад з буденної мови на математичну.

Шукану величину ми позначили буквою \(x\). Це дало нам можливість оперувати з шуканою швидкістю, адже з точки зору алгебри байдуже, чи маємо ми справу з числами або з буквами.

Знаючи шлях \((60\) \(км)\) і швидкість (\(x\) км/год) і використав фізичний закон рівномірного руху\(s = vt\) (\(s\) — шлях, \(v\) — швидкість, \(t\) — час), ми знайшли час, передбачений розкладом, він виражається дробом

\frac{60}{x}

год.

За умовою, перегін був пройдений зі швидкістю, на \(10\) км/год більше, ніж передбачалося розкладом. Переклад цієї умови на математичну мову дав таке: \((x + 10)\) км/год — фактична швидкість проходження перегону, а