Теорія:

Раціональні рівняння можуть слугувати математичними моделями реальних ситуацій.
Приклад:
Перегін у \(60\) км поїзд мав проїхати з постійною швидкістю за визначений розкладом час. Простояв біля семафора перед перегоном \(5\) хв, машиніст був  змушений збільшити швидкість проходження перегону на \(10\) км/год, щоб надолужити до закінчення проходження перегону втрачені \(5\) хв. З якою швидкістю поїзд повинен був пройти перегін за розкладом?
 
 Перший етап. Складання математичної моделі.
 
Нехай \(x\) км/год — швидкість поїзда за розкладом.
Оскільки протяжність перегону дорівнює \(60\) км, то час, відведений розкладом на проходження перегону, становить 60x год.
Фактично поїзд пройшов перегін у \(60\) км зі швидкістю \((x + 10)\) км/год, отже, час, витрачений на проходження перегону, дорівнює 60x+10 год.
 
Із двох величин — 60x год і 60x+10 год перша більше другої на \(5\) хв, тобто на 112 год.
Отже, ми приходимо до рівняння: 60x60x+10=112.
 
Математична модель задачі складена. Це раціональне рівняння.
 
Другий етап.  Робота зі складеної моделлю.

Маємо 60x60x+10112=0.
 
Перетворимо ліву частину рівняння:
60(12(x+10)x6012xx+101x(x+10)12=720(x+10)720xx(x+10)12x(x+10)=x210x+720012x(x+10).
 
Прирівняв чисельник цього дробу до нуля, отримаємо квадратне рівняння x210x+7200=0 або, переходячи до більш зручного запису, x2+10x7200=0.
 
Застосувава відому формулу, знаходимо:
x1,2=10±1024172002=10±289002=10±1702.
 
x1=10+1702=80;x2=101702=90
 
Обидва значення задовольняють умові 12x(x+10)0, отже, ці значення — корені складеного раціонального рівняння.
 
 Третій етап.  Відповідь на питання задачі.
 
Питається, з якою швидкістю поїзд повинен був пройти перегін за розкладом?
Саме цю величину ми позначили буквою \(x\). Отримали, що або \(x = 80\), або \(x = -90\).  Друге значення нас не влаштовує, оскільки швидкість руху поїзда не може виражатися негативним числом. Отже, вибираємо значення \(x = 80\), це і є відповідь на питання задачі.
Відповідь: \(80\) км/год.
Зробимо деякі коментарі до виконаного розв'язання.
1. Звичайно, розглянута ситуація дещо ідеалізована: навряд чи в реальному житті поїзд пройде весь перегін із постійною швидкістю, адже завжди є і прискорення, і уповільнення. Але на таку ідеалізацію математикам доводиться йти свідомо.
 
2. У черговий раз звертаю твою увагу на те, що ми скористалися звичною схемою міркувань: складання математичної моделі, робота зі складеною моделлю, відповідь на питання завдання.
 
3. Підкреслимо, що перший етап, тобто складання математичної моделі — ключовий у розв'язанні завдання. На цьому етапі здійснюється переклад умови задачі з буденної мови на математичну мову, тобто виконується серйозна творча робота. Така ж робота проводиться і на другому етапі, але це не творча, а чисто технічна робота, оскільки, діємо за алгоритмом.
 
Повернемося до розглянутої задачі та проаналізуємо, як здійснюється переклад з буденної мови на математичну.
 
Шукану величину ми позначили буквою \(x\). Це дало нам можливість оперувати з шуканою швидкістю, адже з точки зору алгебри байдуже, чи маємо ми справу з числами або з буквами.
 
Знаючи шлях \((60\) \(км)\) і швидкість (\(x\) км/год) і використав фізичний закон рівномірного руху\(s = vt\) (\(s\) — шлях, \(v\) — швидкість, \(t\) — час), ми знайшли час, передбачений розкладом, він виражається дробом 60x год.
 
За умовою, перегін був пройдений зі швидкістю, на \(10\) км/год більше, ніж передбачалося розкладом. Переклад цієї умови на математичну мову дав таке: \((x + 10)\) км/год — фактична швидкість проходження перегону, а 60x+10 год — фактичний час руху поїзда по перегону у \(60\) км.
 
Далі, згідно з умовою, на даному перегоні поїзд виграв, порівняно з розкладом, \(5\) хв, тобто 112 год.
Іншими словами, час, передбачений розкладом ( 60x год ), більше фактичного часу ( 60x+10 год ) на  112 год.
 
Математичною мовою це означає, що  60x60x+10=112 (з більшої величини відняли меншу і отримали зазначену в умови різницю).
 
Зверни увагу!
Порівнювати треба величини одного і того ж найменування (в даному рівнянні — це години).