Теорія:

Функція y=kx
Познайомимося з новою функцією: y=kx
 
Коефіцієнт \(k\) може приймати будь-які значення, крім \(k = 0\). Розглянемо спочатку випадок, коли \(k = 1\); отже, спочатку поговоримо про функцію y=1x.
 
Щоб побудувати графік функції y=1x, надамо незалежній змінній \(x\) декілька конкретних значень та обчислимо (за формулою y=1x) відповідні значення залежної змінної \(y\).
 
Щоправда, в цьому випадку зручніше здійснювати обчислення та побудову поступово — спочатку надавати аргументу лише додатних значень, а потім — лише від'ємних. 
Перший етап
Якщо \(x = 1\), то \(y = 1\) (нагадаємо, що ми користуємося формулою y=1x);
 
якщо \(x = 2\), то y=12;
 
якщо \(x = 4\), то y=14;
 
якщо \(x = 8\), то y=18;
 
якщо x=12, то \(y = 2\);
 
якщо x=14, то \(y = 4\);
 
якщо x=18 , то \(y = 8\).
 
Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:
 
\(x\)\(1\)\(2\)\(4\)\(8\)121418
\(y\)\(1\)121418\(2\)\(4\)\(8\)
 
Побудуємо знайдені точки на координатній площині \(xOy\).
 
1_1.png
Другий етап
якщо \(x = -1\), то \(y = -1\);
 
якщо \(x = -2\), то y=12;
 
якщо \(x= -4\), то y=14;
 
якщо \(x = -8\), то y=18;
 
якщо x=12, то \(y = -2\);
 
якщо x=14, то \(y = -4\);
 
якщо x=18, то \(y = -8\).
 
Коротко кажучи, ми склали наступну таблицю:
 
\(x\)\(-1\)\(-2\)\(-4\)\(-8\)\(-\)12\(-\)14\(-\)18
\(y\)\(-1\)\(-\)12\(-\)14\(-\)18\(-2\)\(-4\)\(-8\)
 
Побудуємо знайдені точки на координатній площині \(xOy\).
 
1_2.png
 
Тепер об'єднаємо два етапи в один, тобто із двох малюнків зробимо один.
 
1_3.png
 
Це і є графіком функції y=1x, який називається гіперболою.
Спробуємо за кресленням описати геометричні властивості гіперболи.
 
По-перше, ця лінія виглядає так само красиво, як і парабола, адже вона наділена симетрією. Будь-яка пряма, що проходить через початок координат \(O\) та розташована в першому і третьому координатних кутах, перетинає гіперболу в двох точках, які лежать на цій прямій по різні сторони від точки \(O\), але на рівних відстанях від неї. Це властиво, зокрема, точкам \((1; 1)\) і \((- 1; - 1)\), 2;12 і 2;12 тощо.
 
Отже, \(O\) — центр симетрії гіперболи. Говорять також, що гіпербола симетрична відносно початку координат.
 
По-друге, ми бачимо, що гіпербола складається з двох частин, симетричних щодо початку координат; їх зазвичай називають гілками гіперболи.
 
По-третє, помічаємо, що кожна гілка гіперболи в одному напрямку підходить все ближче і ближче до осі абсцис, а в іншому напрямку — до осі ординат. У подібних випадках відповідні прямі називають асимптотами.
 
Отже, графік функції y=1x, тобто гіпербола, має дві асимптоти: вісь \(x\) та вісь \(y\).
 
Якщо уважно проаналізувати побудований графік, можна виявити ще одну геометричну властивість, яка не настільки очевидна, як три попередні (математики звичайно говорять так: «більш тонка властивість»).
 
Зверни увагу!
Гіпербола має не лише центр симетрії, а й осі симетрії.
Побудуємо пряму \(y = x\).
 
1_4.png
 
Тепер дивимося: точки 2;12та12;2 розташовані по різні сторони від проведеної прямої, але на рівних відстанях від неї. Вони симетричні відносно цієї прямої.
 
Те саме можна сказати про точки 4;14 і 14;4,8;18 і 18;8 тощо. 
 
Отже, пряма \(y =x\) — вісь симетрії гіперболи y=1x (так само, як і \(y = -x\)).