Послідовність, у якій кожен наступний член можна знайти, додавши до попереднього одне і те ж число \(d\), називається арифметичною прогресією.
Число називається різницею арифметичної прогресії.
Якщо відомий перший член арифметичної прогресії і різниця , тоді можливо обчислити будь-який член арифметичної прогресії:
\(=\) \(+\)
\(=\) \(+\) \(=\) \(+2\)
\(=\) \(+\) \(=\) \(+3\)
і т.д.
\(n\)-ий член арифметичної прогресії можна отримати, якщо до першого члену прогресії додати (\(n-1\)) різниць, тобто,
\(=\) \(+\) ,
де \(n\) - порядковий номер члена прогресії, - перший член прогресії, - різниця.
Ця рівність називається загальною формулою арифметичної прогресії.
Її використовують, щоб обчислити \(n\)-ий член арифметичної прогресії (наприклад, десятий, сотий та ін.), якщо відомі перший член послідовності і різниця.
Приклад:
Дано арифметичну прогресію (), де \(= 0\) і \(= 2\).
Написати:
a) перші п'ять членів прогресії;
b) десятий член прогресії.
a. Щоб знайти наступний член прогресії, потрібно до попереднього додати різницю:
\(=\) \(+\) \(= 0+2=2\)
\(=\) \(+\) \(= 2+2=4\)
\(=\) \(+\) \(= 4+2=6\)
\(=\) \(+\) \(= 6+2=8\)
b. Використовується загальна формула \(=\) \(+\)
Якщо \(n = 10\), тоді замість \(n\) до формули підставляється \(10\):
\(=\) \(+\)
\(= 0+\)
\(= 18\)
Сума перших \(n\) членів арифметичної прогресії
Суму перших \(n\) членів арифметичної прогресії можна знайти, використовуючи формулу:
\(=\) , де \(n\) - число членів послідовності.
Приклад:
Дано арифметичну прогресію (), де \(= 0\) і \(= 2\).
Написати суму перших п'яти членів послідовності.
\(=\) , де \(n = 5\) і \(=\) \(= 8\) (з попереднього прикладу)
\(=\) \(=\) \(=\) 20