1. Графічний розв'язок квадратних рівнянь

Використовуючи наші знання про деякі функції та їх графіки, ми вже можемо, не чекаючи систематичного вивчення теми «Квадратні рівняння», розв'язувати деякі квадратні рівняння;  ми розглянемо ці способи на прикладі одного квадратного рівняння.

 

Розв'яжи рівняння $x^2-2x-3=0$.

 

Перший спосіб.

 

Побудуємо графік функції $x^2-2x-3=0$.

 

1. Маємо: \(a = 1, b = -2\), $x_0=-\frac{b}{2a}=\mathrm{1,}{y}_0=f(1)=1^2-2-3=-4$. Отже, вершиною параболи є точка \((1; -4)\), а віссю параболи — пряма \(x = 1\).

 

2. Візьмемо на осі \(x\) дві точки, симетричні відносно осі параболи, наприклад, точки \(x = -1\) та \(x = 3\). Маємо \(f(-1) = f(3) = 0\). Побудуємо на координатній площині точки \((-1; 0)\) та \((3; 0)\).

 

3. Через точки \((-1; 0), (1; -4), (3; 0)\) проводимо параболу.

 

 

Коренями рівняння $x^2-2x-3=0$ є абсциси точок перетину параболи з віссю \(х\); отже, корені рівняння такі: $x_1=-1;x_2=3$.

 

Другий спосіб.

 

Зведемо рівняння до вигляду $x^2=2x+3$. Побудуємо в одній системі координат графіки

 

 

Вони перетинаються в двох точках \(C(- 1; 1)\) та \(D(3; 9)\). Коренями рівняння є абсциси точок \(C\) та \(D\), отже, $x_1=-1;x_2=3$.

Зведемо рівняння до вигляду $x^2-3=2x$. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій: $y=x^2-3;y=2x$.

 

 

Вони перетинаються в двох точках \(C(-1; - 2)\) та \(D(3; 6)\). Коренями рівняння є абсциси точок \(C\) та \(D\), тому $x_1=-1;x_2=3$.

 

Зведемо рівняння до вигляду $x^2-2x+1-4=0$ і далі $x^2-2x+1=4\to {\left(x-1\right)}^2=4$.

 

 

Вони перетинаються в двох точках \(C(-1; 4)\) та \(D(3; 4)\). Коренями рівняння є абсциси точок \(C\) та \(D\), тому $x_1=-1;x_2=3$.

 

Поділивши почленно обидві частини рівняння на \(x\), отримаємо

 

Побудуємо в одній системі координат гіперболу $y=\frac{3}{x}$ і пряму \(y = x - 2\).

 

 

Вони перетинаються в двох точках \(A (-1; -3)\) та \(B(3; 1)\). Коренями рівняння є абсциси точок \(A\) та \(B\), отже, $x_1=-1;x_2=3$.

 

Таким чином, квадратне рівняння $x^2-2x-3=0$ ми розв'язали графічно п'ятьма способами.