Теорія:

Квадратним рівнянням називають рівняння виду ax2+bx+c=0, де \(а, b, с\) — будь-які числа (коефіцієнти), a0.
Використовуючи наші знання про деякі функції та їх графіки, ми вже можемо, не чекаючи систематичного вивчення теми «Квадратні рівняння», розв'язувати деякі квадратні рівняння;  ми розглянемо ці способи на прикладі одного квадратного рівняння.
 
Розв'яжи рівняння x22x3=0.
 
Перший спосіб.
 
Побудуємо графік функції x22x3=0.
 
1. Маємо: \(a = 1, b = -2\), x0=b2a=1,y0=f(1)=1223=4. Отже, вершиною параболи є точка \((1; -4)\), а віссю параболи — пряма \(x = 1\).
 
2. Візьмемо на осі \(x\) дві точки, симетричні відносно осі параболи, наприклад, точки \(x = -1\) та \(x = 3\). Маємо \(f(-1) = f(3) = 0\). Побудуємо на координатній площині точки \((-1; 0)\) та \((3; 0)\).
 
3. Через точки \((-1; 0), (1; -4), (3; 0)\) проводимо параболу.
 
1.png
 
Коренями рівняння x22x3=0 є абсциси точок перетину параболи з віссю \(х\); отже, корені рівняння такі: x1=1;x2=3.
 
Другий спосіб.
 
Зведемо рівняння до вигляду x2=2x+3. Побудуємо в одній системі координат графіки
функцій: y=x2;y=2x+3.
 
2.png
 
Вони перетинаються в двох точках \(C(- 1; 1)\) та \(D(3; 9)\). Коренями рівняння є абсциси точок \(C\) та \(D\), отже, x1=1;x2=3.
 
Третій спосіб.
 
Зведемо рівняння до вигляду x23=2x. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій: y=x23;y=2x.
 
3.png
 
Вони перетинаються в двох точках \(C(-1; - 2)\) та \(D(3; 6)\). Коренями рівняння є абсциси точок \(C\) та \(D\), тому x1=1;x2=3.
 
Четвертий спосіб.
 
Зведемо рівняння до вигляду x22x+14=0 і далі x22x+1=4x12=4.

Побудуємо в одній системі координат параболу y=x12 і пряму \(y = 4\).
 
4.png
 
Вони перетинаються в двох точках \(C(-1; 4)\) та \(D(3; 4)\). Коренями рівняння є абсциси точок \(C\) та \(D\), тому x1=1;x2=3.
 
П'ятий спосіб.
Поділивши почленно обидві частини рівняння на \(x\), отримаємо
 
x23x=0x2=3x
Побудуємо в одній системі координат гіперболу y=3x і пряму \(y = x - 2\).
 
5.png
 
Вони перетинаються в двох точках \(A (-1; -3)\) та \(B(3; 1)\). Коренями рівняння є абсциси точок \(A\) та \(B\), отже, x1=1;x2=3.
 
Таким чином, квадратне рівняння x22x3=0 ми розв'язали графічно п'ятьма способами.