Взаємне розміщення прямих в просторі.Кут між двома прямими

Взаємне розміщення прямих у просторі

Як відомо з курсу планіметрії, дві прямі в просторі можуть перетинатись (мають спільну точку) або бути паралельними (не мають спільних точок).
В просторі ми можемо уявити ситуацію, коли дві прямі не перетинаються і не є паралельними.

Одна дорога проходить під ескадою, а інша — над ескадою.

Кабелі мосту

Горизонтальні лінії даху і вертикальні лінії стін

Дві прямі називаються мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині.

Теорема «Ознака мимобіжних прямих»

Якщо одна із двох прямих лежить в деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні (не лежать в одній площині).

Доведення

Розглянемо пряму \(AB\), що лежить в площині і пряму \(CD\), яка перетинає площину в точці \(D\), яка не лежить на прямій \(AB\).

1. Припустимо, що прямі \(AB\) і \(CD\) лежать в одній площині.
2. Це означає, що площина проходить через пряму \(AB\) і точку \(D\), тобто вона співпадає з площиною \(α\).
3. Маємо протиріччя умові теореми, отже пряма \(CD\) не лежить в площині \(α\), а перетинає її.
Теорема доведена.

В просторі прямі розміщені наступним чином:
1. Паралельні

2. Перетинаються

3. Мимобіжні

Теорема

Через кожну з двох мимобіжних прямих проходить площина, паралельна іншій прямій, і лише одна.

Доведення

Розглянемо мимобіжні прямі \(AB\) і \(CD\).

1. Через точку \(D\) можно провести пряму \(DE\) паралельну \(AB\).
2. Через прямі, що перетинаються \(CD\) і \(DE\) можно провести площину \(α\)
3. Так як пряма \(АB\) не лежить в цій площині і паралельна прямій \(DE\), то вона паралельна площині.

4. Ця площина єдина, оскільки будь-яка інша площина, що проходить через \(CD\), буде перетинатись з \(DE\) і \(AB\).
Теорема доведена.

Кути між прямими

1. Якщо прямі паралельні, то кут між ними

0^{0}

.
2. Кутом між двома прямими, що перетинаються, називають величину меншого з кутів, утворених цими прямими. Якщо всі кути рівні, то ці прямі перпендикулярні (утворюють кут

90^{0}

).
3. Кутом між двома мимобіжними прямими називають кут між двома прямими, що перетинаються, відповідно паралельними мимобіжним прямим.

Зверни увагу!

Провести відповідні паралельні прямі до даних мимобіжних прямих можна через будь-яку точку. Іноді зручно вибрати цю точку на одній з даних мимобіжних прямих і провести через цю точку пряму, паралельну другій мимобіжній прямій.

Приклад:

Дано куб