Перпендикулярні прямі в просторі
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.
У просторі перпендикулярними називають не тільки прямі, що перетинаються, а й мимобіжні прямі, тому що ми кажемо про кут, який можуть утворити ці прямі, якщо їх розташувати в одній площині.
Так само як і в площині, в просторі перпендикулярні прямі \(a\) і \(b\) позначають .
Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то й інша перпендикулярна до цієї прямої.
Перпендикулярність прямої і площини
Пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною цій площині, якщо вона перпендикулярна кожній прямій, яка лежить у цій площині.
Перпендикулярність прямої і площини позначається як .
Через будь-яку точку простору проходить пряма перпендикулярна даній площині, і до того ж тільки одна.
Ознака перпендикулярності прямої і площини.
Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються у площині, то вона перпендикулярна цій площині.
Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються у площині, то вона перпендикулярна цій площині.
Доведення:
Нехай \(a\) — пряма, перпендикулярна прямим \(b\) і \(c\) у площині. Проведемо пряму \(a\) через точку \(A\) перетину прямих \(b\) і \(c\). Доведемо, що пряма \(a\) перпендикулярна площині, тобто кожній прямій в цій площині.
1. Проведемо довільну пряму \(x\) через точку \(A\) в площині і покажемо, що вона перпендикулярна прямій \(a\). Проведемо в площині довільну пряму, що не проходить через точку \(A\) і перетинає прямі \(b\), \(c\) і \(x\). Нехай точками перетину будуть \(B\), \(C\) і \(X\).
2. Відкладемо на прямій \(a\) від точки \(A\) в різні сторони рівні відрізки \(AM\) і \(AN\).
3. Трикутник \(MCN\) рівнобедрений, оскільки відрізок \(AC\) є висотою за умовою теореми і медіаною з побудови (\(AM = AN\)). З тієї ж причини трикутник \(MBN\) теж рівнобедрений.
4. Отже, трикутники \(MBC\) і \(NBC\) рівні за трьома сторонами.
5. З рівності трикутників \(MBC\) і \(NBC\) випливає рівність кутів \(MBX\) і \(NBX\) і, отже, рівність трикутників \(MBX\) і \(NBX\) за двома сторонами та кутом між ними.
6. З рівності сторін \(MX\) і \(NX\) цих трикутників випливає, що трикутник \(MXN\) рівнобедрений. Тому його медіана \(XA\) є також висотою. А це і означає, що пряма \(x\) перпендикулярна \(a\). За визначенням пряма \(a\) перпендикулярна площині.
Властивості перпендикулярних прямої та площини.
1. Якщо площина перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й інший.
2. Дві прямі, перпендикулярні одній і тій же площині, паралельні.