1. Паралельність прямих, прямої та площини

1. Якщо прямі \(a\) і \(b\) паралельні, із визначення випливає, що через них можна провести площину $\mathrm{\alpha }$.

2. Щоб довести, что така площина тільки одна, на прямій \(a\) позначаємо точки \(B\) і \(C\), а на прямій \(b\) — точку \(A\).

3. Оскільки через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести тільки одну площину (2 аксіома), то $\mathrm{\alpha }$ — єдина площина, якій належать прямі \(a\) і \(b\).

 

1. Через дану пряму \(a\) і точку \(M\), що не лежить на прямій, проводимо площину $\mathrm{\alpha }$.

2. Така площина тільки одна, оскільки через пряму і точку, що не лежить на прямій, можна провести площину, до того ж тільки одну.

3. А в площині $\mathrm{\alpha }$ через точку \(M\) можна провести тільки одну пряму \(b\), що паралельна прямій \(a\).

 

  

Розглянемо дві паралельні прямі \(a\) і \(b\) і припустимо, що пряма \(b\) перетинає площину $\mathrm{\alpha }$ в точці \(M\) (1. рис.).

 

З 1-ої теореми відомо, що через паралельні прямі \(a\) і \(b\) можна провести тільки одну площину $\mathrm{\beta }$.

 

Оскільки точка \(M\) розташована на прямій \(b\), то \(M\) також належить площині $\mathrm{\beta }$(2. рис.). Якщо площини $\mathrm{\alpha }$ і $\mathrm{\beta }$ мають спільну точку \(M\), то у цих площин є спільна пряма \(c\), яка є прямою перетину цих площин (4 аксіома).

 

Прямі \(a\), \(b\) і \(c\) розміщені в площині $\mathrm{\beta }$.

Якщо в цій площині одна з паралельних прямих \(b\) перетинає пряму \(c\), то друга пряма \(a\) також перетинає \(c\).

 

Точку перетину прямих \(a\) і \(c\) позначимо за \(K\).

Оскільки точка \(K\) розміщена на прямій \(c\), то \(K\) розміщена в площині $\mathrm{\alpha }$ і буде єдиною спільною точкою прямої \(a\) і площини $\mathrm{\alpha }$.

Отже, пряма \(a\) перетинає площину $\mathrm{\alpha }$ в точці \(K\).

 

Нехай $a\parallel cіb\parallel c$

Доведемо, що  $a\parallel b$

Оберемо точку \(M\) на прямій \(b\).

Через точку \(M\) і пряму \(a\), яка не містить цю точку, можна провести тільки одну площину $\mathrm{\alpha }$ (Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести тільки одну площину).

 

Можливі два випадки:

1) пряма \(b\) перетинає площину $\mathrm{\alpha }$ ;

2) пряма \(b\) лежить у площині $\mathrm{\alpha }$.

 

Отже, пряма \(c\), що паралельна прямій \(b\), також перетинає площину $\mathrm{\alpha }$. Оскільки $a\parallel c$, то виходить, що \(a\) також перетинає цю площину. Але пряма \(a\) не може одночасно перетинати площину $\mathrm{\alpha }$ і лежати у площині $\mathrm{\alpha }$. Маємо суперечність, отже,  припущення, що пряма \(b\) перетинає площину $\mathrm{\alpha }$, є неправильним.

 

Тепер треба довести, що прямі \(a\) і \(b\) паралельні.

Нехай прямі \(a\) і \(b\) мають спільну точку \(L\).

Це означає, що через точку \(L\) проведено дві прямі \(a\) і \(b\), паралельні прямій \(c\). Але відповідно до другої теореми це неможливо. Тому припущення неправильне, і прямі \(a\) і \(b\) не мають спільних точок.

Оскільки прямі \(a\) і \(b\) містяться в одній площині $\mathrm{\alpha }$ і не мають спільних точок, то вони паралельні.

Відповідно до аксіом, якщо дві точки прямої містяться в деякій площині, то пряма лежить у цій площині. З цього виходить, що можливі три випадки взаємного розташування прямої та площини у просторі: