Теорія:

Тетраедр. Види тетраедрів.
Tetraedr2.jpg
Тетраедр (чотиригранник) — багатогранник, гранями якого є чотири трикутники. (з грецької tetra — чотири та hedra — грань).
Tetraedrs_nereg.png
Рис. 1.
 
У тетраедра \(4\) грані, \(4\) вершини та \(6\) ребер (Рис.1.).
Один з трикутників називається основою тетраедра, а три інші — бічними гранями тетраедра.
Залежно від видів трикутників і їх розташування, виділяють різні види тетраедрів.
 
У шкільному курсі частіше говорять про наступні види тетраедра:
  • рівногранний тетраедр
 всі грані якого —  рівні між собою трикутники;
  • правильная  трикутна  піраміда
основа — рівносторонній трикутник, усі бічні грані — рівнобедрені трикутники (Рис. 3.);
  • правильний  тетраедр
всі чотири грані якого —  рівносторонні трикутники (Рис. 2.).
 
   Tetraedrs_reg.png         Tetraedrs_trijst_piram.png
    Рис. 2.                                                             Рис. 3.
 
Властивість правильного тетраедра:
 
З визначення правильного багатогранника виходить, що всі ребра тетраедра мають рівну довжину, а грані — рівну площу.
 
 
Паралелепіпед. Види паралелепіпедів.
 
VIEPD.png   oblique_rhombic_prism.gif
Паралелепіпедом називається багатогранник, у якого\(6\) граней — паралелограми.
 
Psk_slips1.png
Рис. 4.
 
У паралелепіпеда \(6\) граней, \(8\) вершин і \(12\) ребер (Рис. 4.).
Дві грані паралелепіпеда, що мають спільне ребро, називаються суміжними, а не мають спільних ребер —  протилежними.
 
Зазвичай виділяють якісь дві протилежні грані і називають їх основами, а інші грані —   бічними гранями паралелепіпеда.
 
Ребра паралелепіпеда, що не належать основам, називають бічними ребрами.
 
Відрізок, що з'єднує дві вершини, що не належать одній грані, називається діагоналлю паралелепіпеда (Рис. 5.).
Psk_taisns.png
Рис. 5.
 
Залежно від видів паралелограмів і їх розташування, виділяють різні види паралелепіпедів:

Паралелепіпеди можуть бути прямі і похилі.
 
У прямих паралелепіпедів бокові грані прямокутники (Рис. 5.),
у похилих — паралелограми (Рис. 4.).
 
Прямий паралелепіпед, у якого основа також прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом.
 
Psk_taisns_dimensijas.png
Рис. 6.
 
Довжина непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називається його лінійними розмірами (вимірами).
У прямокутного паралелепіпеда три лінійні розміри DA, DC, DD1 (Рис. 6.). 
 
Властивості паралелепіпеда:
— Протилежні грані паралелепіпеда рівні і паралельні.
 
 Усі чотири діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.
 
 Бічні грані прямого паралелепіпеда  прямокутники.
 
Построение сечения тетраэдра и параллелепипеда.
Плоскостью сечения многогранника можно назвать любую плоскость, по обе стороны которой находятся точки многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани многогранников по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
 
Так как у тетраэдра \(4\) грани, то сечением тетраэдра может быть треугольник (Рис. 7.) или
четырехугольник (Рис. 8.).
 
Tetr_sk_3.png           Tetr_sk_4.png
Рис. 7.                                                                  Рис. 8.
 
У параллелепипеда \(6\) граней, поэтому сечением этого многогранника может быть треугольник (Рис. 9.), четырехугольник ( Рис. 10. ),
пятиугольник (Рис. 11. ) или шестиугольник (Рис. 12.).
Psk05.pngPsk_pierad8.pngPsk_skel.pngPsk06.png
Рис. 9.      Рис. 10.     Рис. 11.  Рис. 12.
  
При построении сечения надо вспомнить следующие знания из предыдущих тем:
 
1. Если две точки прямой принадлежит плоскости, то прямая находится в этой плоскости.
2. Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются по прямой.
3. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.
 
Приклад:
Задача
Построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки \(K\), \(M\) и \(N\).
Uzd_paraugs.png
1. проводим \(MK\) так как обе точки находятся в одной плоскости
 
2. MKCC1=X непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются
Uzd_paraugs1.png
3. проводим \(XN\) так как обе точки находятся в одной плоскости
 
4. XND1C1=P
Uzd_paraugs2.png
 
5. проводим \(MP\) так как обе точки находятся в одной плоскости
 
6. через точку \(N\) в плоскости основанияNLMP так как линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью должны быть параллельны
Uzd_paraugs3.png
 
7. Соединяем \(N\) и \(L\) и получаем сечение \(MPNLK\).
Uzd_paraugs4.png
 
Джерела: