Щоразу, коли потрібно довести нову властивість фігури, ми спираємось на раніше відомі геометричні факти.
Теорема — це тверження, в істинності якого переконуються за допомогою логічних міркувань, доведень.
Зазвичай теорема містить умову (те, що дано) і висновок (що вимагається довести).
Найважливіші теореми, у яких зазначається, за яких умов правильні ті чи інші твердження, називають ознаками.
Наприклад:
Розглядають ознаки подільності чисел, ознаки рівності трикутників та ін.
"Відрізком називають частину прямої, обмежену двома її точками" — означення відрізка;
"Гострим називають кут, менший від прямого" — означення гострого кута.
Доводячи теорему, показують, що вона випливає з інших істинних тверджень.
Однак на початку вивчення геометрії "інших істинних тверджень" ще немає, тому кілька перших тверджень приймають без доведень. Їх називають аксіомами.
Аксіома — найбільш очевидне твердження про властивості елементарних геометричних фігур, істинність якого приймають без доведень.
Наприклад, аксіомами є вже знайомі твердження:
\(1.\) Хоч би яка була пряма, існують точки, що належать цій прямій та точки, що їй не належать.
\(2.\) Через будь-які дві різні точки можна провести пряму, і тільки одну.
\(3.\) Із трьох різних точок прямої одна, і тільки одна лежить між двома іншими.
\(4.\) Кожний відрізок має певну довжину.
\(5.\) Кожний кут має певну міру.
Помінявши умову і висновок теореми місцями, одержимо нове твердження (істине або хибне). Якщо одержане твердження істинне, його називають теоремою, оберненою до даної.
Наприклад:
"Якщо кути вертикальні, то вони — рівні" — дана теорема.
"Якщо кути рівні, то вони — вертикальні" — обернене твердження. Оскільки воно хибне, то воно не є теоремою.
Детальніше ти зможеш познайомитись та опрцювати у наступних темах.
Зверни увагу!
В означеннях, аксіомах та теоремах — основний зміст геометрії, їх треба знати, але формулювати (правильно!) можна й своїми словами.
Наприклад вище згадане означення відрізка, можна сформувати так:
"Частину прямої, обмежену двома її точками, називають відрізком".
Аксіоми виникають не лише на основі практики та спостережень. Їх використовують не лише в математиці. Нерідко в повсякденному житті будь-яке істинне твердження, що не потребує обґрунтування, називають аксіомою.
Наприклад, кажуть: "Після квітня настане травень. Це — аксіома".
Якщо зацікавитись математикою та пов'язати свою професію з нею, то можна дізнатись із різними геометріями, відмінними від шкільної, й вони будуть побудовані на інших аксіомах.
Джерела:
А. Мерзляк, М. Якір. "Геометрія" підручник для 7 класу закладів загальної середньої освіти._ 2024р.
Г. Бевз та ін. "Геометрія" підручник для 7 класу закладів загальної середньої освіти._ 2024р.