Теорія:

У трикутнику навпроти більшої сторони лежить більший кут.
Lenki_malas1.png
 
Доведення
 
Нехай у трикутнику \(ABC\) сторона \(AB\) більша від сторони \(AC.\)

Доведемо, що \(C >\) \(B.\)
 
Відкладемо на стороні \(AB\) відрізок, рівний стороні \(AC.\)

Оскільки \(AD <AB,\) то точка \(D\) лежить між точками \(A\) і \(B.\)

Отже, кут \(1\) є частиною кута \(C\) і, відповідно:
 
 \(C >\) \(1\)
 
Кут \(2\) — зовнішній кут трикутника \(BDC,\) тому  \(2 >\) \(B.\)
 
 \(1 =\) \(2\) (оскільки це кути при основі рівнобедреного трикутника \(ADC\))
 
Отже,  \(C >\) \(1 =\) \(2 >\) \(B.\)              
 
Звідси випливає, що  \(C >\) \(B.\)
 
Правильною є і протилежна теорема.
У трикутнику навпроти більшого кута лежить більша сторона.
Висновок 1. Якщо два кути трикутника рівні, то трикутник рівнобедрений (ознака рівнобедреного трикутника).
 
Висновок 2. Якщо три кути трикутника рівні, то трикутник рівносторонній.
 
Висновок 3. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша від катета.
Нерівність трикутника
Кожна сторона трикутника менша, ніж сума двох інших сторін.
Lenki_malas2.png
 
Доведення
 
Розглянемо трикутник\(ABC\) і доведемо, що \(AB < AC + BC.\)
 
Продовжимо сторону \(AC\) й відкладемо відрізок \(CD = BC.\)
 
Трикутник \(BCD\) — рівнобедрений, отже \(1 = \) \(2.\)
 
У трикутнику \(ABD\) очевидно, що  \(ABD >\) \(1,\) що означає: \(ABD >\) \(2.\)
 
Оскільки навпроти більшого кута лежить більша сторона, \(AB < AD,\) а \(AD\) \(=\)
\(AC\) \(+\) \(BC,\) отже:
 
\(AB < AC + BC\)
 
Висновок 4. Для будь-якої з трьох точок \(A, B\) і \(C,\) що не лежать на одній прямій, правильними є нерівності:

\(AB < AC + CB,  AC < AB + BC,  BC < AB + AC\)