Теорія:

Коло, описане навколо трикутника
Коло називається описаним навколо трикутника, якщо всі вершини трикутника розташовані на колі.
Його центр рівновіддалений від усіх вершин, тобто повинен розміщуватися в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
 
Отже, навколо будь-якого трикутника можна описати коло, оскільки серединні перпендикуляри до сторін перетинаються в одній точці.
 
Trijst_vidusp_01.png
 
Для гострокутного трикутника центр кола розташований у трикутнику.
 
Інша ситуація з прямокутним і тупокутним трикутниками.
 
Trijst_vidusp21.png              Trijst_vidusp11.png
Коло, вписане в трикутник
Коло називається вписаним у трикутник, якщо всі сторони трикутника дотикаються до кола.
Його центр рівновіддалений від усіх сторін, тобто повинен розміщуватися в точці перетину бісектрис трикутника.
 
Отже, в будь-який трикутник можна вписати коло, оскільки бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
 
Trijst_bisektrises_01.png
 
Оскільки бісектриси кутів трикутника завжди перетинаються всередині трикутника, то для всіх трикутників центр вписаного кола розташовується в трикутниках.
Формули (рівносторонній трикутник)
Зверни увагу!
У рівностороннього трикутника збігаються бісектриси, медіани й висоти, тобто ці відрізки є також серединними перпендикулярами. Це означає, що центри вписаного та описаного кіл збігаються.
Радіус описаного кола
 
R=23h\(,\) тому R=a33\(.\)
 
Радіус вписаного кола
 
r=13h\(,\) де \(h\) — висота трикутника.
Якщо дано сторону трикутника \(a,\) тоді h=a32\(.\)
Отже, r=a36\(.\)
Формули (прямокутний трикутник)
Радіус описаного кола
  
R=12c\(,\) де \(c\) — гіпотенуза.
 
Радіус вписаного кола
 
r=SΔp\(,\) де \(p\) — півпериметр.
Формули (довільний трикутник)
Радіус описаного кола
 
R=abc4SΔ
 
R=a2sinα\(,\) де α — кут, протилежний стороні \(a.\)
 
Якщо SΔ=abc4R,то R=abc4SΔ;якщо SΔ=pr,то r=SΔp
 
Радіус вписаного кола
 
r=SΔp\(,\) де \(p\) — півпериметр.