Теорія:

Рівняння кола
Використаємо два відомих факти і виведемо рівняння кола:
\(1.\) Усі точки кола розташовані на даній відстані (радіус) від даної точки (центр).
 
\(2.\) Ми маємо формулу для розрахунку відстані між двома точками, якщо знаємо координати точок AB=xAxB2+yAyB2\(,\) а якщо так, то квадрат відстані:
 
AB2=xAxB2+yAyB2
Rl_vdj.png
 
Припустимо, що центр кола розташовується в точці CxC;yC\(,\) а радіус кола дорівнює \(R.\)
 
Будь-яка точка Px;y на цьому колі розташована на відстані \(R\) від центру \(C,\) отже правильною є рівність:
 
xxC2+yyC2=R2
 
Це і є рівняння кола з центром \(C\) і радіусом \(R.\) Координати всіх точок, які розташовані на колі, задовольняють рівняння.
 
Якщо центр кола розташований на початку координат 0;0\(,\) то рівняння має наступний вигляд:
 
x2+y2=R2
Рівняння прямої
Для виведення рівняння прямої проведемо цю пряму як серединний перпендикуляр деякого відрізка з даними координатами кінцевих точок відрізка.
Відомо, що всі точки серединного перпендикуляра розташовані на рівних відстанях від кінців відрізка.
Taisnes_vdj.png
 
Координати кінців відрізка: AxA;yA і BxB;yB
 
Будь-яка точка Px;y розташовується на рівних відстанях від кінцевих точок PA=PB\(.\)
 
Звісно, рівні й квадрати відстаней PA2=PB2\(,\) тож правильною є рівність
xxA2+yyA2=xxB2+yyB2\(,\) яка і є рівнянням прямої.  
 
Після зведення виразів у дужках і зведення подібних доданків:
 
x22xxA+xA2+y22yyA+yA2=x22xxB+xB2+y22yyB+yB22xxB2xxA+2yyB2yyA+xA2xB2+yA2yB2=02xB2xAx+2yB2yAy+xA2xB2+yA2yB2=0
 
рівняння матиме такий вигляд:
 
ax+by+c=0a=2xBxAb=2yByAc=xA2xB2+yA2yB2
 
Розглянемо особливі прямі.
 
Taisnes_vert_horz_vdj.png
 
\(1.\) Пряма проходить через деяку точку на осі \(Ox\) з координатами AxA;0\(.\)
 
Для будь-якої точки на цій прямій x=xA\(.\) Це і є рівняння прямої.
Оскільки вісь \(Oy\) проходить через початок координат, то рівнянням осі \(Oy\) є x=0\(.\)
\(2.\) Пряма проходить через деяку точку на осі \(Oy\) з координатами B0;yB\(.\)
 
Для будь-якої точки на цій прямій y=yB\(,\) це і є рівняння прямої.
Оскільки вісь \(Ox\) проходить через початок координат, то рівнянням осі \(Ox\) є y=0\(.\)