Теорія:

Правильними називаються многокутники, в яких усі сторони та кути рівні.
На малюнку бачимо деякі правильні многокутники: трикутник, чотирикутник (квадрат), п'ятикутник і шестикутник.
 
Regnst.png
 
Якщо в правильних опуклих многокутниках провести діагоналі, то утворяться правильні увігнуті многокутники: із діагоналей п'ятикутника отримаємо пентаграму, з діагоналей шестикутника — гексаграму, а з діагоналей семикутника — дві різні гептаграми.
 
Regnst_d.png
 
Якщо провести всі діагоналі з однієї вершини, будь-який \(n\)-кутник можна поділити на \(n\) \(-\) \(2\) трикутники. 
 
Отже, сума всіх внутрішніх кутів визначається за формулою 180°n2\(.\)
 
R_dz1.png
 
Оскільки всі кути правильного \(n\)-кутника рівні, то величина одного внутрішнього кута дорівнює:
 
180°n2n
 
Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати і вписати в нього коло. При цьому збігаються центри обох кіл, і цю точку називають центром многокутника.
 
Вписане коло належить усім сторонам, описане коло проходить через усі вершини.
 
Rl.png
 
AOH=360°n;AOK=360°2n=180°n
 
У трикутнику \(AOK\) пов'язані сторона \(a\) (половина сторони \(AK\)), радіус описаного кола \(OA = R\) і радіус вписаного кола \(OK = r.\)
 
a2=Rsin180°n;a=2Rsin180°n;R=a2sin180°na2=rtg180°n;a=2rtg180°n;r=a2tg180°nr=Rcos180°n;R=rcos180°n
 
Оскільки \(n\)-кутник складається з \(n\) трикутників, рівних \(AOH,\) то:
 
Snуг.=nSAOK=nAHr2=pr2
 
Для правильного трикутника і квадрата додатково діють усі формули, які були розглянено в курсі геометрії.