Теорія:

У системі координат побудуємо півколо з радіусом \(1\) та центром у початку координат.
 
Vienibas_pusr.png
 
Як уже відомо, в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус гострого кута — як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
 
У трикутнику \(AOX:\)
 
sinα=AXAO;cosα=OXAO
 
Оскільки радіус півкола \(R = AO = 1,\) то sinα=AX;cosα=OX\(.\)
Довжина відрізка \(AX\) дорівнює величині координати \(y\) точки \(A,\) а довжина відрізка \(OX\) — величині координати \(x\) точки \(A:\)
 
 Acosα;sinα
Отже, для кутів 0°α180° бачимо, що 1cosα1;0sinα1\(.\)
У прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета. Отже:
 
tgα=AXOX=sinαcosα
Використовуючи одиничне півколо та розглянену інформацію, визначимо синус, косинус і тангенс для 0°;90°;180°\(.\)
 
sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0sin90°=1;cos90°=0;tg90°не існуєsin180°=0;cos180°=1;tg180°=0
 
Розглянемо обидва гострих кути в трикутнику \(AOX.\) Якщо разом вони утворюють 90°\(,\) то обидва виразимо через α\(:\)
 
Vienibas_pusr2.png
 
Якщо sinα=AXAO;cosα=OXAO\(,\) то sin90°α=OXAO;cos90°α=AXAO\(.\)
 
Ми бачимо, що правильними є рівності:
 
cos90°α=sinαsin90°α=cosα
 
Розглянемо тупий кут, який також виразимо через α\(:\)
 
Vienibas_pusr1.png
 
Правильними є наступні рівності:
 
sin180°α=sinαcos180°α=cosα
Ці формули називаються формулами зведення:
 
cos90°α=sinαsin90°α=cosα
 
sin180°α=sinαcos180°α=cosα
Якщо в трикутнику \(AOX\) застосувати теорему Піфагора, отримаємо AX2+OX2=1\(.\) Замінивши відрізки, відповідно, на синус і косинус, запишемо головну тригонометричну тотожність:
  
sin2α+cos2α=1
 
Ця тотожність дозволяє обчислити величину синуса кута, якщо відомий косинус
(як уже зазначено, синус для кутів 0°α180° лише \(0\) або додатний):
 
sin2α+cos2α=1sin2α=1cos2αsinα=1cos2α 
 
або величину косинуса кута, якщо відомий синус:
 
sin2α+cos2α=1cos2α=1sin2αcosα=±1sin2α
 
Для гострих кутів косинус додатний, а для тупих кутів беремо від'ємне значення.