1. Синус, косинус і тангенс кута

У системі координат побудуємо півколо з радіусом \(1\) та центром у початку координат.

 

 

Як уже відомо, в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус гострого кута — як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

 

У трикутнику \(AOX:\)

 

 

Оскільки радіус півкола \(R = AO = 1,\) то $\mathit{sin}\mathrm{\alpha }=\mathit{AX};\mathit{cos}\mathrm{\alpha }=\mathit{OX}$\(.\)

Отже, для кутів $0\mathrm{°}\le \mathrm{\alpha }\le 180\mathrm{°}$ бачимо, що $-1\le \mathit{cos}\mathrm{\alpha }\le 1;0\le \mathit{sin}\mathrm{\alpha }\le 1$\(.\)

Використовуючи одиничне півколо та розглянену інформацію, визначимо синус, косинус і тангенс для $0\mathrm{°};90\mathrm{°};180\mathrm{°}$\(.\)

 

 

Розглянемо обидва гострих кути в трикутнику \(AOX.\) Якщо разом вони утворюють $90\mathrm{°}$\(,\) то обидва виразимо через $\mathrm{\alpha }$\(:\)

 

 

Якщо $\mathit{sin}\mathrm{\alpha }=\frac{\mathit{AX}}{\mathit{AO}};\mathit{cos}\mathrm{\alpha }=\frac{\mathit{OX}}{\mathit{AO}}$\(,\) то $\mathit{sin}\left(90\mathrm{°}-\mathrm{\alpha }\right)=\frac{\mathit{OX}}{\mathit{AO}};\mathit{cos}\left(90\mathrm{°}-\mathrm{\alpha }\right)=\frac{\mathit{AX}}{\mathit{AO}}$\(.\)

 

Ми бачимо, що правильними є рівності:

 

 

Розглянемо тупий кут, який також виразимо через $\mathrm{\alpha }$\(:\)

 

Правильними є наступні рівності:

 

Якщо в трикутнику \(AOX\) застосувати теорему Піфагора, отримаємо ${\mathit{AX}}^2+{\mathit{OX}}^2=1$\(.\) Замінивши відрізки, відповідно, на синус і косинус, запишемо головну тригонометричну тотожність:

 

Ця тотожність дозволяє обчислити величину синуса кута, якщо відомий косинус
(як уже зазначено, синус для кутів $0\mathrm{°}\le \mathrm{\alpha }\le 180\mathrm{°}$ лише \(0\) або додатний):

 

$\begin{array}{l}{\mathit{sin}}^2\mathrm{\alpha }+{\mathit{cos}}^2\mathrm{\alpha }=1\\ \\ {\mathit{sin}}^2\mathrm{\alpha }=1-{\mathit{cos}}^2\mathrm{\alpha }\\ \\ \mathit{sin}\mathrm{\alpha }=\sqrt{1-{\mathit{cos}}^2\mathrm{\alpha }}\end{array}$ 

 

або величину косинуса кута, якщо відомий синус:

 

 

Для гострих кутів косинус додатний, а для тупих кутів беремо від'ємне значення.