Теорія:

Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина (число), що дорівнює добутку модулів цих векторів, помножене на косинус кута між ними:

ab=abcosα

Sk_reiz_garums.png
 
Дуже важливо правильно визначати кут між векторами. Якщо вектори не мають спільної початкової точки, необхідно уявити, який кут утворився б, якби їх перемістили до спільної початкової точки.
 
Кут між векторами позначають abˆ=α\(.\)
 
\(1.\) Якщо вектори співнапрямлені, то abˆ=0°\(:\)
 
Lenkis_vekt1.png
Зверни увагу!
Оскільки косинус кута величиною \(0°\) дорівнює \(1,\) то скалярний добуток співнапрямлених векторів є добутком їхніх довжин.
Якщо два вектори рівні, то такий скалярний добуток називають скалярним квадратом.
\(2.\) Якщо вектори протилежно напрямлені, то abˆ=180°\(:\)
 
Lenkis_vekt3.png
Зверни увагу!
Оскільки косинус кута величиною \(180°\) дорівнює \(-1,\) то скалярний добуток протилежно напрямлених векторів дорівнює від'ємному добутку їхніх довжин.
\(3.\) Вектори називають перпендикулярними, якщо abˆ=90°\(:\)
 
Lenkis_vekt2.png
Зверни увагу!
Оскільки косинус прямого кута дорівнює \(0,\) то скалярний добуток перпендикулярних векторів дорівнює \(0.\)
\(4.\) Потрібно уважно розглянути випадки, коли вектори утворюють тупий кут:
 
Lenkis_vekt5.png  Lenkis_vekt6.png
Зверни увагу!
Оскільки косинус тупого кута від'ємний, то скалярний добуток векторів, які утворюють тупий кут, є від'ємним.
Скалярний добуток векторів, заданих координатами
Якщо axa;ya і bxb;yb\(,\) то ab=xaxb+yayb\(.\)
 
Оскільки в координатах a=xa2+ya2  і  b=xb2+yb2\(,\) то можна визначити косинус кута між векторами, а отже й величину кута.
 
cosα=ababcosα=xaxb+yaybxa2+ya2xb2+yb2
Властивості скалярного добутку векторів
\(1.\) Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більший або дорівнює нулю.
 
Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:
 
aa>0;00=0

\(2.\) Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

aa=a2
 
\(3.\) Для скалярного добутку діє переставний закон:

ab=ba
 
\(4.\) Для скалярного добутку діє розподільний закон:
 
a+bc=ac+bc
 
\(5.\)  Для скалярного добутку діє сполучний закон:
 
kab=kab
 
\(6.\) Якщо скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори перпендикулярні.