Математична модель — це інформаційна модель, у якій залежності між властивостями об’єкта та його зв’язки з іншими об’єктами описуються математичними формулами, функціями, рівняннями, нерівностями тощо.
Математичне моделювання можна застосовувати у випадку, коли дослідження потребує певних розрахунків, аналізу числових даних.
Математична модель — це система математичних співвідношень, які описують властивості досліджуваного об’єкта, процеса або явища.
Мета створення математичної моделі — проаналізувати значення певної властивості об'єкта, які можна отримати шляхом обчислень.
Для побудови математичної моделі потрібно:
- з’ясувати, до якої предметної галузі належать об’єкти, згадані в умові задачі;
- визначити суттєві для розв’язуваної задачі властивості об'єктів;
- позначити змінні для зберігання значень величин;
- з’ясувати, як пов’язані результати із вхідними даними;
- записати рівняння та/або нерівності, що забезпечують розв’язання задачі.
Алгоритм побудови математичної моделі:
1. Проаналізувати умову задачі та визначити, що буде вхідними даними, кінцевими результатами (вихідними даними) та проміжними результатами.
2. Увести позначення для усіх даних.
3. Записати формули та співвідношення, які пов’язують вхідні дані з кінцевими результатами.
1. Проаналізувати умову задачі та визначити, що буде вхідними даними, кінцевими результатами (вихідними даними) та проміжними результатами.
2. Увести позначення для усіх даних.
3. Записати формули та співвідношення, які пов’язують вхідні дані з кінцевими результатами.
Математичну модель зручно подавати в такій формі:
Що дано? <Перелік початкових даних>
Що треба знайти? <Перелік потрібних результатів>
Який зв’язок між величинами? <Математичні співвідношення, що зв’язують вхідні дані та результати>
Які є обмеження на дані? <Умови допустимості початкових даних>
Що дано? <Перелік початкових даних>
Що треба знайти? <Перелік потрібних результатів>
Який зв’язок між величинами? <Математичні співвідношення, що зв’язують вхідні дані та результати>
Які є обмеження на дані? <Умови допустимості початкових даних>
Для отримання результатів дослідження на основі математичної моделі потрібно надати вхідним даним певних значень і на основі співвідношень моделі обчислити та проаналізувати кінцеві результати. Для отримання висновка з дослідження потрібно застосувати модель декілька разів на різних наборах значень вхідних даних.
Задача 1. Дослідження з визначення довжини пройденого шляху. Як виміряти пройдену відстань, не маючи рулетки?
Аналіз завдання дослідження. Якщо знати довжину кроку в сантиметрах (см), то для вимірювання відстані у метрах (м) потрібно порахувати кроки, після чого помножити кількість кроків на довжину одного кроку та поділити результат на 100.
Вхідні дані — довжина кроку, яку виміряємо під час дослідження лінійкою, і кількість кроків, яку порахуємо під час руху. Вихідні дані — довжина пройденого шляху.
| Що дано? |
крок — довжина кроку (см),
кількість — кількість кроків
|
| Що треба знайти? |
відстань — довжина пройденого шляху (м)
|
| Який зв’язок між величинами? | відстань = крок · кількість : 100 |
Застосуємо отриману модель.
Уважатимемо, що довжина кроку крок\(=50\ \)см.
Ви пройшли кількість \(=\) \(300\) кроків. Тоді довжина пройденого шляху
відстань \(= 50·300:100 = 150\) м.
Задача 2. Коли Софійка навчалася в 6-му класі, її батько отримав премію та поклав на депозитний рахунок у банк під певні відсотки річних. Тепер Софійка навчається у 7-му класі, і її батько знов отримав премію. Чи вистачить батькові грошей, щоб відправити Софійку на екскурсію до Львова, якщо зняти гроші з відсотками з депозитного рахунку та додати цьогорічну премію?
Проаналізуємо умову задачі і побудуємо математичну модель задачі.
| Що дано? | \(х\) — розмір першої премії у гривнях, \(р\) — відсотки, які визначені банком для депозитних рахунків; \(у\) — розмір другої премії у гривнях, \(а\) — вартість екскурсії в гривнях. |
| Що треба знайти? |
Відповідь залежить від того, чи буде кінцева сума більшою або рівною вартості екскурсії.
Якщо \(s ≥ a\), то кінцевий результат: Так, вистачить,
інакше — кінцевий результат: Ні, не вистачить.
|
| Зв’язок між величинами | Обчислення суми нарахувань за відсотками: \(v = x\) : \(100 · p\); обчислення всієї суми грошей: \(s = x + v + y\). |
| Обмеження на дані |
\(х>0, 0 ≤ р ≤ 20 , у>0 , а>0\)
|
Для використання цієї моделі потрібно підставити конкретні значення вхідних даних, виконати обчислення проміжних результатів та отримати кінцевий результат.
Наприклад, якщо \(х = 300\) грн, \(р = 15 %\), у = 270 грн, а = 600 грн, то отримуємо:
1) v = 300 : 100 ∙ 15 = 45;
2) s = 300 + 45 + 270 = 615;
3) 615 ≥ 600? — Так, кінцевий результат: Так, вистачить.
2) s = 300 + 45 + 270 = 615;
3) 615 ≥ 600? — Так, кінцевий результат: Так, вистачить.
Для інших значень вхідних даних, наприклад, якщо \(а = 700\) грн, результат буде Ні, не вистачить.
Джерела:
Інформатика : підруч. для 6-го кл. закл. заг. серед. освіти / Йосиф Ривкінд [та ін.]. — Київ : Генеза, 2022. Інформатика : підруч. для 6 кл. закл. загал. серед. освіти / [О. О. Бондаренко, В. В. Ластовецький, О. П. Пилипчук, Є. А. Шестопалов]. — Харків : Вид-во «Ранок», 2022.