3. Найпростіші ірраціональні рівняння

Рівняння, в яких під знаком кореня міститься змінна, називаються ірраціональними.
Розв'язання ірраціональних рівнянь зазвичай зводиться до переходу від ірраціонального до раціонального рівняння шляхом піднесення до степеня \(n\) обох частин рівняння.
 
При розв'язанні ірраціональних рівнянь необхідно враховувати наступне:

\(1.\) Якщо показник кореня — парне число, то підкореневий вираз і значення кореня не повинні бути від'ємними.
 
\(2.\) Якщо показник кореня — непарне число, то підкореневий вираз може бути будь-яким дійсним числом.
 
\(3.\) При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня можуть виникати сторонні корені, тому при використанні даного методу необхідно робити перевірку або знаходити область допустимих значень.
Приклад:
\(1.\) Розв'яжи рівняння: 3x−24=2
 
Розв'язання
 
\(ОДЗ\)\(:\)
 
3x−2≥03x≥2 / : 3x≥23
 
Піднесемо обидві частини рівняння до четвертого степеня.
 
\(Зx - 2 = 16\)
\(3x=16+2\)
\(3x=18\)
 
x=6∈ \(ОДЗ\)
 
Відповідь: \(x=6\)
 
\(2.\) Розв'яжи рівняння: x2−24=1
 
Розв'язання
 
Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:
 
x2−24=1x2=24+1x2=25
 
Отримане неповне квадратне рівняння має два корені: \(-5\) і \(5.\)

Зробимо перевірку отриманих коренів, для цього підставимо значення змінної \(x\) у початкове рівняння.
 
Перевірка

При  x1=−5−52−24=25−24=1=1 — правильно
При  x2=552−24=25−24=1=1  — правильно
 
Отже, початкове ірраціональне рівняння має два корені.

Відповідь: \(-5\) і \(5\)

\(3.\) Розв'яжи рівняння: 9−2x8=−12
 
Розв'язання
 
Рівняння не має коренів. Корінь парного степеня — невід'ємне число.
 
Розв'яжи рівняння: 5x+73=−2
 
Розв'язання
 
Піднесемо обидві частини рівняння до куба:
 
5x+7=−85x=−8−75x=−15x=−3
 
Відповідь: \(x=-3\)
Попередня теорія
Повернутись до теми
Наступне завдання
Copyright © 2024 МiйКлас