2. Степенева функція з парним і непарним натуральним показником степеня

Функція

y = x^{2 n}

Йдеться про функції

y = x^{6}, y = x^{8}

і взагалі про степеневу функцію з парним натуральним показником степеня. Графік будь-якої такої функції схожий на графік функції

y = x^{4}

\(,\) тільки його вітки більш круто напрямлені вгору.

Зазначимо також, що крива

y = x^{2 n}

дотикається до осі \(x\) в точці \((0; 0).\) Геометрично це означає, що одна вітка кривої плавно переходить в іншу, ніби притискаючись до осі \(x.\)

Функція

y = x^{2 n + 1}

Йдеться про функції

y = x^{5}, y = x^{7}, y = x^{9}

і взагалі про степеневу функцію з непарним натуральним показником степеня. Графік будь-якої такої функції схожий на графік функції

y = x^{3}

\(,\) тільки чим більший показник, тим більш круто напрямлені вгору і, відповідно, вниз вітки графіка.

Зазначимо також, що крива

y = x^{2 n + 1}

дотикається до осі \(x\) в точці \((0; 0).\)

Приклад:

Розв'яжи рівняння:

x^{5} = 3 - 2 x

Розв'язання

\(1.\) Розглянемо дві функції:

y = x^{5}, y = 3 - 2 x

\(2.\) Побудуємо графік функції

y = x^{5}

\(.\)

\(3.\) Побудуємо графік лінійної функції

y = 3 - 2 x

\(.\) Це пряма лінія, що проходить через точки \((0; 3)\) та \((1; 1).\)

\(4.\) За кресленням ми бачимо, що побудовані графіки перетинаються в точці \(A\) \((1; 1).\)

Перевірка показує, що насправді координати точки \(A\) \((1; 1)\) задовольняють і рівняння

y = x^{5}

\(,\) і рівняння

y = 3 - 2 x

\(.\) Отже, рівняння має один корінь: \(x=1\) — це абсциса точки \(A.\)

Якщо функція

y = f (x)

зростає, а функція

y = g (x)

спадає і якщо рівняння \(f(x)=g(x)\) має корінь, то тільки один.

Знайшли помилку?