Дослідження функції на монотонність
Функцію \(y=f(x)\) називають зростаючою на множині \(,\) якщо для будь-яких точок та множини \(X,\) таких, що \(,\) виконується нерівність \(.\)
Функцію \(y=f(x)\) називають спадною на множині \(,\) якщо для будь-яких точок та множини \(X,\) таких, що \(,\) виконується нерівність \(.\)
Зверни увагу!
Функція зростає, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.
Функція спадає, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Функція спадає, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Дослідження функції на обмеженість
Функцію \(y=f(x)\) називають обмеженою знизу на множині \(,\) якщо всі значення цієї функції на множині \(X\) більші, ніж деяке число; інакше кажучи, якщо існує число \(m,\) таке, що для будь-якого значення виконується нерівність \(.\)
Функцію \(y=f(x)\) називають обмеженою зверху на множині \(,\) якщо всі значення цієї функції на множині \(X\) менші, ніж деяке число; інакше кажучи, якщо існує число \(m,\) таке, що для будь-якого значення виконується нерівність .
Найменше та найбільше значення функції
Число \(m\) називають найменшим значенням функції \(y=f(x)\) на множині \(,\) якщо:
\(1)\) існує точка \(,\) така що \(;\)
\(1)\) існує точка \(,\) така що \(;\)
\(2)\) для будь-якого значення виконується нерівність \(.\)
Число \(M\) називають найбільшим значенням функції \(y=f(x)\) на множині \(,\) якщо:
\(1)\) існує точка \(,\) така що \(;\)
\(1)\) існує точка \(,\) така що \(;\)
\(2)\) для будь-якого значення виконується нерівність \(.\)
Позначення:
— найменше значення функції;
— найбільше значення функції.
\(2)\) якщо у функції існує \(,\) то вона обмежена зверху;
\(3)\) якщо функція не обмежена знизу, то в неї не існує \(;\)
\(4)\) якщо функція не обмежена зверху, то в неї не існує \(.\)
Нулі функції
Нулем функції \(y=f(x)\) називається таке значення аргументу \(,\) за якого функція перетворюється на нуль.