4. Множення показників кореня і підкореневого виразу на одне й саме натуральне число

Властивість формулюється тільки для невід'ємних значень змінної, які знаходяться під знаком кореня.

Якщо \(a\) — невід'ємне і якщо показники кореня й підкореневого виразу помножити або поділити на одне й те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться, тобто:

\sqrt[np]{a^{kp}} = \sqrt[n]{a^{k}}

Приклад:

\(1.\) Спрости вираз:

\(a)\)

\sqrt[24]{y^{18}}

\(;\)

\(b)\)

\sqrt[10]{x^{5}}

\(.\)

Розв'язання

\(a)\) зобразимо показник кореня \(24\) і показник степеня підкореневого виразу \(18\) у вигляді добутків із однаковим множником \(6.\) Потім застосуємо властивість

\sqrt[24]{y^{18}} = \sqrt[4 \cdot 6]{y^{3 \cdot 6}} = \sqrt[4]{y^{3}}

\(.\)

\(b)\) поділимо показник кореня \(10\) і показник степеня підкореневого виразу \(5\) на одне й те саме натуральне число \(5.\)

\sqrt[10]{x^{5}} = \sqrt[10 : 5]{x^{5 : 5}} = \sqrt{x^{1}} = \sqrt{x}

\(2.\) Перетвори вираз:

\sqrt[28]{128}

Розв'язання

Зобразимо число \(128\) у вигляді степеня з основою \(2\) і поділимо показник на \(7.\)

\sqrt[28]{128} = \sqrt[4 \cdot 7]{2^{7}} = \sqrt[4]{2}

Формула застосовується як зліва направо, так і справа наліво.

\sqrt[7]{u^{3}} = \sqrt[7 \cdot 2]{u^{3 \cdot 2}} = \sqrt[14]{u^{6}}

Приклад:

Порівняй числа:

\sqrt[5]{3} і \sqrt[4]{2}

Розв'язання

Зобразимо дані числа у вигляді коренів із одним і тим самим показником.

Найменше спільне парне чисел \(5\) і \(4\) – число \(20.\)

\begin{array}{l} \sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 4]{3^{4}} = \sqrt[20]{81} \\ \sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 5]{2^{5}} = \sqrt[20]{32} \end{array}

Тепер можна порівняти.

\sqrt[20]{81} > \sqrt[20]{32}

\(,\) отже,

\sqrt[5]{3} > \sqrt[4]{2}

\(.\)

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!