3. Поняття і обчислення похідної n-го порядку

Похідна функції

f (x)

f^{'} (x)

, сама є функцією. Отже, можна знайти її похідну.

Назвемо

f^{'} (x)

похідною функції

f (x)

першого порядку.

Похідна від похідної функції

f (x)

називається похідною другого порядку (або другою похідною).

Похідна від другої похідної називається похідною третього порядку (або третьою похідною) і т.д.

Похідні, починаючи з другої, називаються похідними вищих порядків і позначаються

y'' (іноді y^{(2)}), y''' (іноді y^{(3)}), y^{(4)}, y^{(5)}, ..., y^{(n)}, ...

Іноді використовуються позначення

\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}, ..., \frac{d^{n} y}{d x^{n}}, ...

Прискорення є друга похідна координати за часом. У цьому полягає механічний зміст другої похідної.

Похідна $n$ - го порядку є похідною $(n-1)$ порядку: $y^{(n)} = (y^{(n - 1)})'$ .

(Сама функція іноді вважається похідною $0$ - го порядку.)

Приклад:

\begin{array}{l} y = x^{5} \\ y' = (x^{5})' = 5 x^{4} \\ y'' = (y')' = (5 x^{4})' = 20 x^{3} \\ y^{(3)} = (y'')' = (5 \cdot 4 x^{3})' = 60 x^{2} \\ y^{(4)} = (y^{(3)})' = (60 x^{2})' = 120 x^{} \\ y^{(5)} = (y^{(4)})' = (120 x)' = 120 \\ y^{(6)} = y^{(7)} = y^{(8)} = ... = 0 \end{array}

(e^{x})' = e^{x}

, тому всі похідні функції

y = e^{x}

дорівнюють:

y' = y'' = y^{(3)} = y^{(4)} = y^{(5)} = ... = e^{x}

Знайшли помилку?