Правила диференціювання — урок. Алгебра, 10 клас.

Теорема 1.

Якщо функції $y=f(x)$ і $y=g(x)$ мають похідну в точці $x$, тоді і їх сума має похідну в точці $x$, причому похідна суми дорівнює сумі похідних:

${(f (x) + g (x))}^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)$

Теорема 2.

Якщо функція $y=f(x)$ маює похідну в точці $x$, тоді і функція $y=kf(x)$ має похідну в точці $x$, причому:

${(kf (x))}^{'} = k f^{'} (x)$

Теорема 3.

Якщо функції $y=f(x)$ і $y=g(x)$ мають похідну в точці $x$, тоді і їх добуток має похідну в точці $x$, причому:

${(f (x) g (x))}^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) {\cdot g}^{'} (x)$

На практиці цю теорему формулюють так:

похідна добутку двох функцій дорівнює сумі двох доданків; перший доданок є добуток похідної першої функції на другу функцію, а другий доданок є добуток першої функції на похідну другої функції.

Якщо функції $y=f(x)$ і $y=g(x)$ мають похідну в точці $x$ і в цій точці $g (x) \neq 0$ , тоді і функція $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ має похідну в точці $x$, причому:

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$

$\begin{array}{l} (k_{1} u + k_{2} v)' = k_{1} u' + k_{2} v' \\ (uv)' = u' v + uv' \\ {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u' v - uv'}{v^{2}} \end{array}$

Приклад:

\begin{array}{l} u = x^{2} \\ v = \sin x \\ 1 . ({2x}^{2} - 3sin x)' = 2 (x^{2})' - 3 (\sin x)' = 2 \cdot 2 x - 3cos x = 4 x - 3 \cos x \\ 2 . (x^{2} \sin x)' = (x^{2})' \sin x + x^{2} (\sin x)' = 2 x \sin x + x^{2} \cos x \\ {3 . (\frac{x^{2}}{\sin x})}^{'} = \frac{(x^{2})' \sin x - x^{2} (\sin x)'}{{(\sin x)}^{2}} = \frac{2 x \sin x - x^{2} \cos x}{\sin^{2} x} \end{array}

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

2. Правила диференціювання

Теорія: