1. Дослідження опуклості графіка функції
Якщо функція \(f(x)\) має на інтервалі \((a, b)\) другу похідну і
() у всіх точках \((a, b)\), тоді графік функції \(f (x)\) має на \((a, b)\) опуклість, спрямовану вниз (вгору).
Приклад:
Визначити опуклості функції .
Друга похідна цієї функції, це . Вона від'ємна, якщо \(x<0\), додатна, якщо \(x>0\).
Отже, графік \(f(x)\) в інтервалі має опуклість, спрямовану вгору і в інтервалі має опуклість, спрямовану вниз.
2. Знаходження точок перегину функції
Щоб визначити точки перегину функції \(f(x)\), потрібно знайти точки, в яких друга похідна цієї функції є нулем або не існує (і які належать області визначення функції). Тоді можна визначити знак другої похідної функції у відповідних інтервалах - обчисливши значення другої похідної в будь-якій точці інтервалу.
Якщо друга похідна функції в точці змінює знак, ця точка є точкою перегину, якщо не міняє, не є точкою перегину.
Приклад:
Розглянемо функцію .
Друга похідна цієї функції, це . Вона від'ємна, якщо \(x<0\) і додатна, якщо \(x>0\). Отже, в точці \(x=0\) друга похідна змінює знак і ця точка - точка перегину функції.
