1. Побудова графіків функцій

Графіки будь-яких функцій будують по точках. Але, якщо вид графіка заздалегідь невідомий, ці точки треба обирати з розумом - виділяти особливо важливі точки графіка, які визначають його вид.

Зверни увагу!

До особливо важливих точок графіка функції y=f(x) відносять:

— стаціонарні та критичні точки;

— точки екстремума;

— точки перетину графіка з віссю \(x\) (нулі функції) і з віссю \(y\);

— точки розриву функції.

В курсі математичного аналізу розроблена універсальна схема дослідження властивостей функції і побудови графіка функції, що дозволяє будувати досить складні графіки. Для наших потреб будуть достатні спрощені варіанти зазначеної схеми.

1) Якщо функція y=f(x) неперервна на всій числовій прямій, тоді достатньо знайти стаціонарні та критичні точки, точки екстремуму, проміжки монотонності, точки перетину графіка з осями координат і, при необхідності, обрати ще кілька контрольних точок.

2) Якщо функція y=f(x) визначена не на всій числовій прямій, тоді починати слід зі знаходження області визначення функції (якщо область не задана) і з вказівки її точок розриву.

3) Корисно досліджувати функцію на парність, оскільки графіки парної або непарної функцій мають симетрію (відповідно відносно осі \(y\) або відносно початку координат) і, отже, можна спочатку побудувати тільки гілку графіка при \(x> 0\), а потім домалювати симетричну гілку.

4) Якщо limx→∞f(x)=b, тоді, як відомо, пряма \(y=b\) є горизонтальною асимптотою графіка функції y=f(x). Асимптоту слід будувати на координатный площині, вона дає своєрідний орієнтир для графіка.

5) За умови: якщоx→a,тодіy→∞ — пряма \(x=a\) є вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x).

Приклад:

Побудувати графік функції y=x2+1x2−1.

Розв'язання 1. Введемо позначення: f(x)=x2+1x2−1. Знайдемо область визначення функції. Вона задається умовами x≠1,x≠−1. Отже, D(f)=(−∞;−1)∪(−1;1)∪(1;+∞).

2. Досліджуємо функцію на парність:

f(−x)=−x2+1−x2−1=x2+1x2−1=f(x)

Отже, задана функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат, а тому можна для початку обмежитися побудовою гілок графіка при x≥0.

3. Знайдемо асимптоти. Вертикальною асимптотою є пряма \(x=1\), оскільки при цьому значенні \(x\) знаменник дробу перетворюється на нуль, а чисельник відмінний від нуля. Для відшукання горизонтальної асимптоти треба обчислити limx→∞f(x):

limx→∞x2+1x2−1=limx→∞x2x2+1x2x2x2−1x2=limx→∞1+1x21−1x2=1

 Отже, \(y=1\) — горизонтальна асимптота графіка функції.

4. Знайдемо стаціонарні та критичні точки, точки екстремуму і проміжки монотонності функції:

 y′=x2+1x2−1′=(x2+1)′⋅(x2−1)−(x2+1)⋅(x2−1)′x2−12=2x⋅(x2−1)−(x2+1)⋅2xx2−12=−4xx2−12.

Похідна існує всюди в області визначення функції, тож, критичних точок у функції немає.

Стаціонарні точки знайдемо зі співвідношення y′=0. Отримуємо: \(-4x=0\), звідки знаходимо, що \(x=0\). При \(x<0\) маємо: y′>0; при \(x>0\) маємо: y′<0. Отже, \(x=0\) — точка максимуму функції, ymax=f(0)=02+102−1=−1.

При \(x>0\) маємо: y′<0; але слід врахувати наявність точки розриву \(x = 1\). Отже, висновок про проміжки монотонності буде виглядати так: на проміжку 0;1) функція спадає, на проміжку (1;+∞) функція також спадає.

5. Побудуємо таблицю значень функції f(x)=x2+1x2−1 при x≥0:

\(x\)
\(0\)
\(0.5\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(y\)
\(-1\)
−53
53
54
1715
 
6. Відзначивши знайдені точки на координатній площині, врахувавши при цьому, що \((0;-1)\) - точка максимуму, що \(y=1\) - горизонтальна асимптота, що \(x=1\) - вертикальна асимптота, побудуємо гілки шуканого графіка при x≥0. Додавши гілки, симетричні побудованим відносно осі ординат, отримаємо весь графік:
graf 09 tema.bmp

Попередня тема
Повернутись до теми
Наступна теорія
Copyright © 2024 МiйКлас