Корінь n-го степеня з дійсного числа

Коренем \(n\)-го степеня

(n = 2, 3, 4, 5 ...)

з числа \(а\) називається таке число \(b,\) \(n\)-ий степінь якого дорівнює \(а,\) тобто:

\sqrt[n]{a} = b, b^{n} = a

Знаходження кореня \(n\)-го степеня з числа \(a\) називається добуванням кореня \(n\)-го степеня. Це число позначають

\sqrt[n]{a}

\(,\) число \(a\) називають підкореневим числом, а число \(n\) — показником кореня.

Якщо \(n=2,\) то пишуть

\sqrt{a}

(\(2\) не пишуть) і кажуть «корінь квадратний із \(a\)».

Якщо \(n=3,\) то пишуть

\sqrt[3]{a}

\(,\) і замість «корінь третього степеня» часто говорять «корінь кубічний».

Якщо \(n\) — парне число, то існує корінь \(n\)-го степеня з будь-якого невід'ємного числа (додатного або рівного нулю).

Якщо \(a <0,\) то корінь \(n\)-го степеня з \(a\) невизначений. Корінь парного степеня з від'ємного числа не існує.

Якщо \(a ≥ 0,\) то невід'ємний корінь

\sqrt[n]{a}

називається арифметичним коренем \(n\)-го степеня із \(a.\)

Приклад:

Корінь четвертого степеня з числа \(16\) дорівнює \(2,\) тобто

\sqrt[4]{16}

\(=2.\) Оскільки

2^{4} = 16

\(,\) то

\sqrt[4]{- 16}

не має змісту.

Якщо \(n\) — непарне число, то існує тільки один корінь \(n\)-го степеня з будь-якого числа (додатного, від'ємного чи рівного нулю), при цьому

\sqrt[n]{- a} = - \sqrt[n]{a}

\(.\)

Ця рівність дозволяє виразити корінь непарного степеня з від'ємного числа через арифметичний корінь того ж степеня.

Приклад:

\sqrt[3]{8} = 2

\sqrt[3]{- 8} = - \sqrt[3]{8} = - 2

Якщо

a \geq 0

\(,\) то

{(\sqrt[n]{a})}^{n} = a

\(,\) а також

\sqrt[n]{a^{n}} = a

\(.\)

Приклад:

\begin{array}{l} {(\sqrt[7]{11})}^{7} = 11 \\ \sqrt[8]{13^{8}} = 13 \end{array}

Знайшли помилку?

1. Корінь n-го степеня з дійсного числа